[Risolto] Equazione del grafico

Ciao

Il testo dice "f(x) polinomiale di quarto grado" e il grafico mostra reali tutt'e quattro gli zeri: due nell'origine, uno in x = h, uno in x = 2.
In verticale si vede solo che il grafico rivolge la concavità verso y > 0, ma non si può stimare il fattore di scala (il coefficiente direttore) perché l'asse y non è quotato; perciò non si toglie nulla alla generalità del problema considerando che f(x) sia un polinomio monico
* f(x) = (x - 0)*(x - 0)*(x - h)*(x - 2), con 0 <= h <= 2.
Oh, chi chiede "Scrivi l'espressione di f(x)" è probabile che non s'accontenti della riga precedente, ma si attenda qualcosa di più formale
* (f(x, h) = x^4 - (h + 2)*x^3 + 2*h*x^2) & (0 <= h <= 2)
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Con
* F(x, h) = ∫ (x^4 - (h + 2)*x^3 + 2*h*x^2)*dx =
= x^5/5 - ((h + 2)/4)*x^4 + (2*h/3)*x^3 + c
* I(f, a, b) = F(b) - F(a) =
= (5*h*((3*a - 8)*a^3 + (8 - 3*b)*b^3) - 6*((2*a - 5)*a^4 + (5 - 2*b)*b^4))/60
si ha
* I(f, 0, h) = (10 - 3*h)*h^4/60
* I(f, h, 2) = (3*h^2 + 8*h + 12)*(h - 2)^3/60
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Il secondo quesito chiede la soluzione di
* (I(f, 0, h) = - I(f, h, 2)) & (0 <= h <= 2) ≡
≡ ((10 - 3*h)*h^4/60 = - (3*h^2 + 8*h + 12)*(h - 2)^3/60) & (0 <= h <= 2) ≡
≡ ((10 - 3*h)*h^4 + (3*h^2 + 8*h + 12)*(h - 2)^3 = 0) & (0 <= h <= 2) ≡
≡ (16*(5*h - 6) = 0) & (0 <= h <= 2) ≡
≡ (h = 6/5) & (0 <= h <= 2) ≡
≡ h = 6/5
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Fissato h = 6/5 si può provare a giocherellare col fattore di scala per cercare di ottenere un grafico di apertura somigliante a quella della figura
* f(x) = k*(x - 6/5)*(x - 2)*x^2
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Per k = 3 io sono propenso ad accontentarmi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5Bx*y%3D0%2Cy%3Dk*%28x-6%2F5%29*%28x-2%29*x%5E2%5Dx%3D-2to3+where+k%3D+3
se non ti va bene puoi continuare a giocherellare tu.

Dal grafico si vede che le radici del polinomio di quarto grado sono x1=2, x2=h, e x3=x4=0 (lo 0 è uno zero doppio, in quanto il grafico ci arriva tangente). Pertanto il polinomio sarà del tipo k*(x-2)*(x-h)*x^2. Per determinare h è necessario imporre che l'integrale da 0 ad h del polinomio sia uguale all'integrale da h a 2 del polinomio stesso. purtroppo adesso non ho tempo di fare i conti, ma un'espressione polinomiale è semplice da integrare.