Equazione del fascio

Questo testo non ha alcun senso. Si consiglia di ricontrollare bene prima di postare esercizi privi di significato.

La domanda è tutt'altro che chiara.

Forse si vuole sapere per quale valore di k la retta del fascio risulta parallela alla bisettrice del 2°-4° quadrante. In questo caso, propongo due modi per affrontare il problema.

 

► 1° modo

• equazione della bisettrice y=-x che in forma implicita risulta essere x+y=0
• L'equazione di tutte rette parallele alla bisettrice saranno della forma x+y+q=0 che può essere espressa come c*x+c*y+(c*q) = 0 con c costante generica.
• La retta del fascio dovrà avere il coefficiente della x eguale a quello della y per cui

1+k=2-k

2k=1

k=1/2

Sostituendo il valore nell'equazione del fascio avremo

(1+k)x +(2-k)y -1 -4k=0

x+y-2=0

 

► 2° modo

• coefficiente angolare bisettrice 2°-4° quadrante m=-1
• coefficienti angolari della generica retta del fascio 

(k-2)y = (1+k)x - (1+4k)

due casi

i) k=2 manca il termine in y la retta risulta parallela all'asse delle y quindi è da scartare

ii) k≠2 posso quindi dividere per k-2

y = (1+k)/(k-2)*x - (1+4k)/(k-2)

i coefficienti angolari mk sono quindi dati dalla

mk = (1+k)/(k-2)

• retta parallela alla bisettrice 2°-4° quadrante, cioè

mk = -1

(1+k)/(k-2)=-1

1+k=2-k

k=1/2

x+y-2=0

 

NB. Un modo può essere utilizzato come soluzione e l'altro come verifica.

 

@gennyp

Ciao. Forse, come dice giustamente il collega dovresti formulare meglio la domanda.

Credo che tu intendessi dire: " determinare il valore di k del fascio di rette:

(1 + k)·x + (2 - k)·y - 1 - 4·k = 0

per cui si abbia una retta parallela alla bisettrice del 2° e del 4° quadrante"

Penso che sia l'unica cosa sensata che si potrebbe dire DECIFRANDO quanto richiesto.

Se le cose stanno come penso, puoi procedere nel seguente modo.

Espliciti l'equazione del fascio rispetto alla y:

y = (x·(k + 1) - 4·k - 1)/(k - 2)-------> y = x·(k + 1)/(k - 2) + (4·k + 1)/(2 - k)

ponendo quale condizione: k ≠ 2

deduci quindi che:   m = (k + 1)/(k - 2)    e    q = (4·k + 1)/(2 - k)

la retta bisettrice del 2° e 4° quadrante ha equazione:  y = -x e quindi m=-1

Determini la retta cercata ponendo:

(k + 1)/(k - 2) = -1-------->  (k + 1)/(k - 2) + 1 = 0-----> (2·k - 1)/(k - 2) = 0

risolvi:  2·k - 1 = 0-----> k = 1/2

Questo è il valore cercato!

La retta del fascio dato che soddisfa il problema è quindi:

y = x·(1/2 + 1)/(1/2 - 2) + (4·(1/2) + 1)/(2 - 1/2)

y = 2 - x

Cara GennyP, anzitutto benvenuta!
Hai già letto il
https://www.sosmatematica.it/regolamento/
del sito? No, vero?
Se l'avessi letto avresti saputo che è richiesto che tu trascriva il problema verbatim (= parola per parola) e non che lo presenti con parole tue.
Se hai bisogno di una risposta univoca devi pubblicare un problema "ben posto" come si spera che sia il testo del problema originale preso dal libro.
DEVI COPIARE L'ESERCIZIO CARATTERE PER CARATTERE.
Del resto, pensaci un po': se tu ne pubblichi la tua interpretazione riassunta male, allora devi renderti conto che è l'interpretazione di una persona che non soltanto non è riuscita a risolverlo, ma nemmeno a capire quali fossero le informazioni indispensabili alla risoluzione!
Dopo quest'accurata trascrizione puoi, se ti va, anche allegare una foto di com'è stampato sul libro.
Così come l'hai presentato è un problema "mal posto" per la laconicità della narrativa consistente di tre frasi che si contraddicono fra loro (lode @Sebastiano per la sintesi di "Questo testo non ha alcun senso."!).
Se decidi di modificare / ripresentare il problema aggiungi un commento con "@exProf" da solo nella prima riga, in modo che io ne abbia notifica.
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Il Titolo "Equazione del fascio" dovrebb'essere l'argomento della richiesta, ma l'ultima frase "Il fascio é: (1+K)x +(2-K)y -1 -4K=0" dice che il fascio è dato, non richiesto.
Quest'ultima frase contiene anche due errori d'ortografia: uno lieve (il nome del parametro scritto maiuscolo), ma l'altro gravissimo (l'accento acuto sulla copula).
La seconda frase, non essendo una corretta scrittura in italiano, può significare cose diverse secondo l'originale di cui è storpiatura.
Se l'originale era «Scrivi l'equazione del fascio DELLE RETTE PARALLELE alla bisettrice del secondo e quarto quadrante.» allora significa
* r(q) ≡ y = q - x
Se l'originale era
«Scrivi l'equazione DELLA RETTA PARALLELA alla bisettrice del secondo e quarto quadrante APPARTENENTE AL FASCIO
* r(k) ≡ (1 + k)*x + (2 - k)*y - 1 - 4*k = 0»
allora significa «Esplicita y da r(k) e calcola il valore di k per cui la pendenza vale meno uno» cioè prima
* r(k) ≡ y = ((k + 1)/(k - 2))*x - (4*k + 1)/(k - 2)
e quindi
* (k + 1)/(k - 2) = - 1 ≡
≡ k = 1/2
da cui infine
* r(1/2) ≡ (1 + 1/2)*x + (2 - 1/2)*y - 1 - 4*1/2 = 0 ≡
≡ x + y - 2 = 0

m(k) = -A/B =(K+1)/(K-2)   per K =/= 2

e la condizione di parallelismo richiede che dia   (K*+1)/(K*-2) = -1

K*+1 = 2 - K*

2K* = 1

K* =1/2

 

Sostituendo il valore trovato   3/2 x + 3/2y - 1 - 2 = 0

3x +3y - 6 = 0

x + y = 2

Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare.

La bisettrice del 2°- 4° quadrante é

 

y = -x

 

con coefficiente angolare m = -1

 

Dato il fascio:

 

ℛ(k) : (1 + K) x + (2 - K)y - 1 - 4K = 0

 

bisogna imporre che il suo coefficiente angolare sia pari a -1:

 

m(ℛ(k)) = m ⇒ (1 + k)/(k - 2) = -1

 

risolviamo questa equazione frazionaria:

 

(1 + k)/(k - 2) = -1

 

supposto, per l'esistenza della frazione k - 2 ≠ 0 → k ≠ 2 si ha

 

1 + k = -1(k - 2)

 

1 + k = - k + 2

 

2k = 1 → k = 1/2

 

Per k = 1/2 otteniamo la retta del fascio ℛ(k) ∥ y = - x . Troviamone l'equazione sostituendo il valore di k nel fascio:

 

 ℛ(1/2) : (1 + 1/2) x + (2 - 1/2)y - 1 - 4(1/2) = 0

 

svolgendo i semplici conti e semplificando si ha:

 

x + y - 2 = 0 → y = - x + 2

 

effettivamente ∥ alla bisettrice del 2° - 4° quadrante.

Si rischia una denuncia per "apologia di fascismo" da parte di Fiano e Co. 🤔