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Equazione del fascio di circonferenze passanti per 2 punti

  

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Scrivi l'equazione del fascio di circonferenze passanti per i punti A (0;4) e B (2;0).

Risposta : x^2 + y^2  + (2k + 2)x + (k-2)y - 4k - 8 = 0

L'esercizio non mi sembra di difficile soluzione ; ho trovato il centro che è il punto medio di AB (1;2) , il raggio che è rad 5, l'equazione della circonferenza con la formula (x- xc)^2 + (y-yc)^2 = r^2 che mi risulta x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0. Poi come seconda circonferenza ho preso la retta per A e B immaginandola come una circonferenza di raggio infinito, cioè la circonferenza degenere che è l'asse radicale. Ho applicato la formula di una retta passante per 2 punti, A e B e ho ottenuto: y + 2x - 4 = 0. A questo punto ho combinato linearmente le equazioni ottenute con un parametro reale k e ho trovato : x^2 + y^2 - 2x - 4y + ky + 2kx - 4k ; per cui a me risulta sempre questa equazione del fascio : x^2 + y^2 + x (2k -2) + y (k-4) - 4k che non corrisponde al risultato sul testo.

Qualcuno mi può gentilmente dire dove sbaglio? Chiedo, come sempre, il vostro aiuto. Grazie anticipatamente. 

Autore
4 Risposte
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Ciao @Beppe, il fascio da te trovato è altrettanto corretto.

Per verificarlo uso un parametro differente per i due fasci:

La soluzione del libro:

x^2 + y^2 + (2k + 2)x + (k-2)y - 4k - 8 = 0

E la tua:

x^2 + y^2 + x (2h-2) + y (h-4) - 4h = 0

 

Nota che se uguagli i termini noti ottieni:

-4k -8 = -4 h 

Da cui 

k = h - 2

Ora se sostituisci nella soluzione del libro:

x^2 + y^2 + (2h - 4 + 2)x + (h-2-2)y - 4(h-2) - 8 = 0

Da cui 

x^2 + y^2 + (2h - 2)x + (h-4)y - 4h = 0

Che è esattamente la tua!

Semplicemente la combinazione lineare è definita a meno della costante, che può essere una qualsiasi. Nel fare l'esercizio, il tuo procedimento ha dato una costante diversa da quella ottenuta dal libro.

Ad occhio penso che per ottenere quella del libro tu possa semplicemente imporre il passaggio di una circonferenza generica per i due punti. Mettendo a sistema ti avanza naturalmente un parametro, che rimarrà incognito, e che è il tuo k.

Ad ogni modo entrambi i procedimenti sono corretti.

 

Ciao, 

Noemi 

 

 

 

 

 

@n_f 

Grazie per la risposta molto chiara e semplice da comprendere. Buona serata




1

@beppe

Ciao di nuovo. Il tuo ragionamento va bene anche se ti sei messo in condizioni particolarissime cercando una circonferenza del tutto particolare. A mio giudizio va bene anche quanto hai fatto tu. Però ti devi ricordare che sono infinite le circonferenze del fascio che passano per i due punti assegnati ed ognuna di esse si può combinare con l'asse radicale generando il fascio di circonferenze. Quindi allo scopo, vanno bene tutte e due le forme: quella del testo e quella tua.

@lucianop 

Grazie per la risposta sempre chiara e veloce. Buona serata

@beppe

Ciao sono contento che le mie poche parole ti abbiano soddisfatto. Volevo aggiungere qualcosa d'altro, dopo ho pensato: dire poche parole ma buone. Buona serata

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A MIO (non troppo modesto) PARERE SBAGLI NEL NON STAMPARE, RITAGLIARE, RACCOGLIERE E CATALOGARE LE RISPOSTE CHE RICEVI.
------------------------------
Con i punti base A(0, 4) e B(2, 0) si ha
* asse(AB) ≡ y = (2*(2 - 0)*x + 0^2 - 2^2 + 4^2 - 0^2)/(2*(4 - 0)) ≡
≡ y = (x + 3)/2
* C(k, (k + 3)/2)
* q = r^2 = |CA|^2 = |CB|^2 = (5/4)*(k^2 - 2*k + 5)
da cui la richiesta equazione
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (k + 3)/2)^2 = (5/4)*(k^2 - 2*k + 5) ≡
≡ x^2 + y^2 - 2*k*x - (k + 3)*y + 4*(k - 1) = 0
------------------------------
Se non ti fidi e se hai pazienza puoi calcolare, di quest'equazione (CORRETTA) e di quella attesa ('a Maronn' 'o sape!): punti base, asse centrale, asse radicale.
Se coincidono è lo stesso fascio, se no il risultato atteso è errato.
------------------------------
Appena la mattina di sabato passato t'ho scritto, fra parecchio altro,
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/59920/
che l'equazione del fascio di circonferenze con due punti base A e B si ottiene dall'osservazione che ogni centro C è sull'asse di AB e ogni raggio r è la comune distanza
* r = |CA| = |CB|




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Scrivo solo le due condizioni di appartenenza di A e B

x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

0 + 16 + 0 + 4b + c = 0

4 + 0 + 2a + 0 + c = 0

c = -2a - 4

c = -4b - 16

4b + 16 = 2a + 4

a = 2b + 6

c = -4b - 16

Io scriverei x^2 + y^2 + 2(k + 3) x + ky - 4(k + 4) = 0

ma ponendo b = k - 2

a = 2k - 4 + 6 = 2k + 2

c = -4k + 8 - 16 = -4k - 8

si ha x^2 + y^2 + (2k+2) x + (k - 2) y - 4k - 8 = 0

Risposta



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