Equazione del fascio di circonferenze passanti per 2 punti

Ciao @Beppe, il fascio da te trovato è altrettanto corretto.

Per verificarlo uso un parametro differente per i due fasci:

La soluzione del libro:

x^2 + y^2 + (2k + 2)x + (k-2)y - 4k - 8 = 0

E la tua:

x^2 + y^2 + x (2h-2) + y (h-4) - 4h = 0

 

Nota che se uguagli i termini noti ottieni:

-4k -8 = -4 h 

Da cui 

k = h - 2

Ora se sostituisci nella soluzione del libro:

x^2 + y^2 + (2h - 4 + 2)x + (h-2-2)y - 4(h-2) - 8 = 0

Da cui 

x^2 + y^2 + (2h - 2)x + (h-4)y - 4h = 0

Che è esattamente la tua!

Semplicemente la combinazione lineare è definita a meno della costante, che può essere una qualsiasi. Nel fare l'esercizio, il tuo procedimento ha dato una costante diversa da quella ottenuta dal libro.

Ad occhio penso che per ottenere quella del libro tu possa semplicemente imporre il passaggio di una circonferenza generica per i due punti. Mettendo a sistema ti avanza naturalmente un parametro, che rimarrà incognito, e che è il tuo k.

Ad ogni modo entrambi i procedimenti sono corretti.

 

Ciao, 

Noemi 

 

 

 

 

 

@beppe

Ciao di nuovo. Il tuo ragionamento va bene anche se ti sei messo in condizioni particolarissime cercando una circonferenza del tutto particolare. A mio giudizio va bene anche quanto hai fatto tu. Però ti devi ricordare che sono infinite le circonferenze del fascio che passano per i due punti assegnati ed ognuna di esse si può combinare con l'asse radicale generando il fascio di circonferenze. Quindi allo scopo, vanno bene tutte e due le forme: quella del testo e quella tua.

A MIO (non troppo modesto) PARERE SBAGLI NEL NON STAMPARE, RITAGLIARE, RACCOGLIERE E CATALOGARE LE RISPOSTE CHE RICEVI.
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Con i punti base A(0, 4) e B(2, 0) si ha
* asse(AB) ≡ y = (2*(2 - 0)*x + 0^2 - 2^2 + 4^2 - 0^2)/(2*(4 - 0)) ≡
≡ y = (x + 3)/2
* C(k, (k + 3)/2)
* q = r^2 = |CA|^2 = |CB|^2 = (5/4)*(k^2 - 2*k + 5)
da cui la richiesta equazione
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (k + 3)/2)^2 = (5/4)*(k^2 - 2*k + 5) ≡
≡ x^2 + y^2 - 2*k*x - (k + 3)*y + 4*(k - 1) = 0
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Se non ti fidi e se hai pazienza puoi calcolare, di quest'equazione (CORRETTA) e di quella attesa ('a Maronn' 'o sape!): punti base, asse centrale, asse radicale.
Se coincidono è lo stesso fascio, se no il risultato atteso è errato.
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Appena la mattina di sabato passato t'ho scritto, fra parecchio altro,
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/59920/
che l'equazione del fascio di circonferenze con due punti base A e B si ottiene dall'osservazione che ogni centro C è sull'asse di AB e ogni raggio r è la comune distanza
* r = |CA| = |CB|

Scrivo solo le due condizioni di appartenenza di A e B

x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

0 + 16 + 0 + 4b + c = 0

4 + 0 + 2a + 0 + c = 0

c = -2a - 4

c = -4b - 16

4b + 16 = 2a + 4

a = 2b + 6

c = -4b - 16

Io scriverei x^2 + y^2 + 2(k + 3) x + ky - 4(k + 4) = 0

ma ponendo b = k - 2

a = 2k - 4 + 6 = 2k + 2

c = -4k + 8 - 16 = -4k - 8

si ha x^2 + y^2 + (2k+2) x + (k - 2) y - 4k - 8 = 0