[Risolto] Equazione con 2 moduli

ABS(-x - 1) + ABS(4 + x) = 3·x + 1

I due moduli si liberano:

ABS(-x - 1) = -x - 1  se -x - 1 ≥ 0 cioè se: x ≤ -1

ABS(-x - 1) = x + 1  se x>-1

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ABS(4 + x) = 4 + x cioè se 4 + x ≥ 0 cioè se x ≥ -4

ABS(4 + x) = - (4 + x) se x<-4

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quindi devi risolvere 3 sistemini:

{(-x - 1) - (4 + x) = 3·x + 1------> x = - 6/5

{x < -4

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{(-x - 1) + (4 + x) = 3·x + 1-------> x = 2/3

{-4 ≤ x ≤ -1

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{(x + 1) + (4 + x) = 3·x + 1-------> x = 4

{x > -1

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Il primo sistema è impossibile, così pure il secondo. L'unica soluzione è x=4.

Interpretazione grafica:

|x + 1| + |x + 4| = 3x + 1 é una forma equivalente

x + 1 >= 0 => x >= -1

x + 4 >= 0  => x >= -4

I Caso : x < - 4

le espressioni sono entrambe negative

cambiano i segni

-x - 1 - x - 4 = 3x + 1

-2x - 3x = 1 + 1 + 4

- 5x = 6

x = -6/5

inaccettabile perché non é minore di -4

II Caso : - 4 <= x < -1

-x - 1 + x + 4 = 3x + 1

3x + 1 = 3

x = 2/3

inaccettabile perché non compresa fra -4 e -1

III Caso : x >= -1

x + 1 + x + 4 = 3x + 1

2x - 3x = -4

x = 4

accettabile perché maggiore di -1

$|-x-1|+|4+x| = 3x+1$ $(per~ x>0)$

$x+1+4+x = 3x+1$

$2x+5 = 3x+1$

$2x-3x = 1-5$

$-x = -4$

$x=4$