Equazione circonferenza

@Beppe

Qualcosa non va con i tuoi dati....che schifo!

@beppe

Ciao e benvenuto.

Il centro C delle circonferenze cercate ha coordinate:

C(α, α)

Il raggio è pure dato, quindi si può scrivere:

(x - α)^2 + (y - α)^2 = (√10/2)^2------> x^2 - 2·α·x + y^2 - 2·α·y + 2·α^2 = 5/2

2·x^2 + 2·y^2 - 4·α·x - 4·α·y + 4·α^2 - 5 = 0

Metto quindi a sistema:

{2·x^2 + 2·y^2 - 4·α·x - 4·α·y + 4·α^2 - 5 = 0

{y = 3·x + 1

Procedo con il metodo della sostituzione:

2·x^2 + 2·(3·x + 1)^2 - 4·α·x - 4·α·(3·x + 1) + 4·α^2 - 5 = 0

2·x^2 + (18·x^2 + 12·x + 2) - 4·α·x - 4·α·(3·x + 1) + 4·α^2 - 5 = 0

20·x^2 + 4·x·(3 - 4·α) + (4·α^2 - 4·α - 3) = 0

Impongo le condizioni di tangenza:

Δ/4 = 0

Quindi:

(2·(3 - 4·α))^2 - 20·(4·α^2 - 4·α - 3) = 0

(64·α^2 - 96·α + 36) - (80·α^2 - 80·α - 60) = 0

- 16·α^2 - 16·α + 96 = 0

16·(2 - α)·(α + 3) = 0-----> α = -3 ∨ α = 2

Quindi due circonferenze!

2·x^2 + 2·y^2 - 4·(-3)·x - 4·(-3)·y + 4·(-3)^2 - 5 = 0

2·x^2 + 2·y^2 + 12·x + 12·y + 31 = 0

2·x^2 + 2·y^2 - 4·2·x - 4·2·y + 4·2^2 - 5 = 0

2·x^2 + 2·y^2 - 8·x - 8·y + 11 = 0

Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
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La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
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Dai dati dell'esercizio si rileva che
* a = b
* q = (√10/2)^2 = 5/2
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Il luogo dei punti P(x, y) distanti √10/2 dalla retta y = 3*x + 1 è
* √10/2 = |(3*x + 1 - y)|/√(3^2 + 1) ≡
≡ |(3*x + 1 - y)| = 5 ≡
≡ (3*x + 1 - y = - 5) oppure (3*x + 1 - y = 5) ≡
≡ (y = 3*x + 6) oppure (y = 3*x - 4)
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Le intersezioni con la y = x danno luogo a
* (x = 3*x + 6) oppure (x = 3*x - 4) ≡
≡ (y = x = - 3) oppure (y = x = 2)
da cui le richieste circonferenze
* Γ1 ≡ (x + 3)^2 + (y + 3)^2 = 5/2 ≡ x^2 + y^2 + 6*x + 6*y + 31/2 = 0
* Γ2 ≡ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 5/2 ≡ x^2 + y^2 - 4*x - 4*y + 11/2 = 0