[Risolto] Epicentro

L'epicentro si trova intersecando le circonferenze di centro le tre città.

Dall'equazione della circonferenza:

$ (x-x_C)^2 + (y-y_C)^2 = r^2$

ricaviamo le circonferenze:

- San Francisco:

$(x-0)^2 + (y-0)^2 = 2.1^2$

$ x^2 +y^2 = 4.41$

- Dallas:

$(x-3.5)^2 + (y+1.4)^2 = 2.5^2$

- Chicago:

$(x-5)^2 + (y-0.4)^2 = 3^2$

Mettiamo a sistema le prime due equazioni: 

{$ x^2 +y^2 = 4.41$

{$(x-3.5)^2 + (y+1.4)^2 = 2.5^2$

ometto i calcoli, ma otteniamo le soluzioni:

A(2, 0.6)

B(1, -1.8)

L'epicentro è un punto che deve appartenere anche alla terza circonferenza. Sostituendo le coordinate di A nell'equazione di Chicago, vediamo che otteniamo una identità (o quasi, con la dovuta approssimazione...):

$(2-5)^2 + (0.6-0.4)^2 = 3^2$

$ 9 + 0.04 = 9$ 

Quindi il punto A è l'epicentro.

Puoi verificare che con il punto B non otteniamo invece un'identità, per cui non è il punto corretto.

Noemi

Il luogo di tutti e soli i punti che distano "r" da un dato punto C si chiama circonferenza.
La localizzazione dell'epicentro di un terremoto si stima non come un punto, ma come un intorno.
In base alle stime di ogni stazione sismografica che l'ha rilevato si traccia una circonferenza, centrata sulla stazione, su cui sta il luogo dell'epicentro. Intersecando due a due tutte queste circonferenze si vede che, delle due intersezioni, una è vicina a una di tutte le altre. La stima ufficiale dell'epicentro è un qualche punto interno al poligono che ha per vertici le intersezioni vicine.
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Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
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In quest'esercizio i tre parametri sono dati, per tutt'e tre le circonferenze; si chiede di determinare se hanno intersezioni e, se sì, dove.
San Francisco: r = 2.1 = 21/10; C(0, 0); Γs ≡ x^2 + y^2 = (21/10)^2
Dallas: r = 2.5 = 5/2; C(3.5, - 1.4) = (7/2, - 7/5); Γd ≡ (x - 7/2)^2 + (y + 7/5)^2 = (5/2)^2
Chicago: r = 3; C(5, 0.4) = (5, 2/5); Γc ≡ (x - 5)^2 + (y - 2/5)^2 = 3^2
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Il sistema delle tre equazioni
* (x^2 + y^2 = (21/10)^2) & ((x - 7/2)^2 + (y + 7/5)^2 = (5/2)^2) & ((x - 5)^2 + (y - 2/5)^2 = 3^2)
è impossibile, cioè le tre circonferenze non hanno un punto comune che si possa dare come epicentro: occorre stimarlo costruendo il poligono delle intersezioni due a due.
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* (x^2 + y^2 = (21/10)^2) & ((x - 7/2)^2 + (y + 7/5)^2 = (5/2)^2) ≡
≡ (1237/812 - √39059/406, - 1237/2030 - 5*√39059/812) ~= (1.0366, - 1.8263)
oppure
≡ (1237/812 + √39059/406, - 1237/2030 + 5*√39059/812) ~= (2.0102, 0.6076)
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* ((x - 7/2)^2 + (y + 7/5)^2 = (5/2)^2) & ((x - 5)^2 + (y - 2/5)^2 = 3^2) ≡
≡ (709/183 - 2*√81089/305, - 58/61 + √81089/183) ~= (2.0070, 0.6053)
oppure
≡ (709/183 + 2*√81089/305, - 58/61 - √81089/183) ~= (5.7416, -2.5069)
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* (x^2 + y^2 = (21/10)^2) & ((x - 5)^2 + (y - 2/5)^2 = 3^2) ≡
≡ (605/296 - √(487/17)/148, 121/740 + 25*√(487/17)/296) ~= (2.0078, 0.6156)
oppure
≡ (605/296 + √(487/17)/148, 121/740 - 25*√(487/17)/296) ~= (2.0801, - 0.2885)
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I vertici della zona epicentrale s'individuano nei tre punti
* (1237/812 + √39059/406, - 1237/2030 + 5*√39059/812) ~= (2.0102, 0.6076)
* (709/183 - 2*√81089/305, - 58/61 + √81089/183) ~= (2.0070, 0.6053)
* (605/296 - √(487/17)/148, 121/740 + 25*√(487/17)/296) ~= (2.0078, 0.6156)
dei quali nemmeno vale la pena di calcolare il baricentro in quanto, per ritrovare il risultato atteso, basta trascurare un po' di decimali sui valori approssimati.