[Risolto] Il teorema di ampere sulla circuitazione

Data una linea chiusa ed orientata y, si definisce circuitazione del campo magnetico B lungo tale percorso il prodotto scalare:
$$\Gamma_{\gamma}=\sum_{i=1}^{n} \vec{B}_{i} \cdot \overrightarrow{\Delta S}_{i}=\sum_{i=1}^{n} B_{i} \cdot \Delta S_{i} \cdot \cos \left(\alpha_{i}\right)$$
dove il vettore $\Delta \mathrm{S}$ indica l'infinitesimo tratto in cui è stata suddivisa $\mathrm{y}$ in modo da poter considerare il campo magnetico costante sulla sua lunghezza.

Il teorema di Ampere fornisce un'alternativa al calcolo della circuitazione del campo magnetico.
La circuitazione del campo magnetico lungo una qualsiasi linea chiusa ed orientata è uguale al prodotto tra $\mu_{0}$ e la somma algebrica delle correnti concatenati alla linea chiusa stessa.

$$\Gamma_{\gamma}=\mu_{0} \sum_{k=1}^{n} i_{k}=\mu_{0} \cdot\left(i_{1}+i_{2}+\ldots+i_{n}\right)$$

Le correnti concatenate non sono altro che le correnti che attraversano la superficie delimitata dal percorso chiuso y.

Per convenzione il segno algebrico della corrente concatenata è positivo se essa genera un campo magnetico concorde con il percorso $\mathrm{Y}$, altrimenti è negativo.
Nella figura qui sotto le correnti $c$ e $b$ sono concatenate mentre la corrente $a$ non lo è. Inoltre la corrente $c$ ha segno algebrico negativo e la corrente $b$ positivo.