Energia potenziale gravitazionale e lavoro - un dubbio

Dalla figura non  si evince se la massa cade verso la Terra, oppure se il corpo è stato lanciato verso l'alto, quindi la risposta potrebbe essere dipende. Prescindendo dal verso del movimento, che serve a stabilire il segno del lavoro, quando il corpo si trova a 6000 m di quota la sua distanza dal centro della Terra è data dalla somma del raggio terrestre R e dalla quota h. Quando  si trova al suolo la sua distanza dal centro della Terra  è pari a R. Il punto di partenza e di arrivo determineranno quale sia da considerarsi il raggio iniziale e il raggio finale.

 Nell'ipotesi che il corpo cada verso Terra avremo la situazione descritta nei due allegati.

r iniziale è Rterra + 6000 m;

r finale è Rterra; (se il corpo cade fino ad arrivare a terra).

Metodo semplice; g = 9,8 m/s^2,  consideriamo l'accelerazione di gravità costante ad altezza 6000 m e ad altezza 0 m dalla superficie terrestre;   (è quasi vero).

h iniziale = 6000 m;

h finale = 0 m.

L = Uo - U1;   (U iniziale - U finale)

L = mgho - mgh1;  ho = 6000 m; h1 = 0 m;

L = 176 * 9,8 * 6000  - 0 = 1,035 * 10^7 J;

Metodo più rigoroso: g = G M / r^2; diminuisce con la distanza dal centro della terra.

r iniziale = Rt + 6000 m; (ro);

r finale = Rt = raggio terrestre; (r1).

L'energia potenziale è:

U = - GMm / r ;

L = Uo - U1 = - GMm / ro - (- GMm / r1) = - GMm * (1/ro - 1/r1);

togliamo il segno negativo, è più comodo, diventa:

L =  + GMm * (1/r1 - 1/ro);

Rt = raggio terrestre = 6,38 * 10^6 m;

ro = Rt + ho; posizione iniziale;

r1 = Rt; posizione finale, sulla superficie terrestre.

L = - GMm/(Rt + ho) - (- GMm/ Rt);

L = - GMm/(Rt + ho) + GMm/ Rt;

L = GMm/ Rt - GMm/(Rt + ho);

calcolo:

L = + GMm * [ 1/Rt  -  1 /(Rt + ho)];  mcm = Rt * (Rt + ho)

L = GMm * {(Rt + ho - Rt) / [Rt * (Rt + ho)]},

L = GMm * ho / [Rt * (Rt + ho)];

L = 6,67 * 10^-11 * 5,98 * 10^24 * 176 * 6000 /[6,38 * 10^6 * (6,38 * 10^6 + 6000)];

L = 4,212 * 10^20 / [6,38 * 10^6 * 6,386 * 10^6];

L = 4,212 * 10^20 / (4,0743 * 10^13) = 1,0334* 10^7 J.

Otteniamo (circa) lo stesso risultato.

Vuol dire che non è scorretto considerare l'accelerazione di gravità costante anche a quote elevate.  Fino a 10000 m può essere accettabile, anche se g diminuisce.

Ciao @pimpa

Quel che è certo è che il problema è espresso in modo del tutto discutibile : un corpo fermo a quella altezza non compie lavoro alcuno, mentre ha un senso chiedersi quanto lavoro è stato necessario impiegare per portarlo dal livello del mare a quella altezza ( che è poi l'energia potenziale U che il corpo possiede a quella altezza )

lavoro L = G*M*m/r-G*M*m/(r+h) 

G*M = 6,674*10^-11*5,98*10^24 = 4,0*10^14 m^3/s^2

L = 4,0*10^14*176*10^-6*(1/6,380-1/6,386)

L = 4,0*10^14*176*10^-6*1,473*10^-4 = 1,037*10^7 J = U

a livello del mare :

g' = G*M/(rt)^2 = 4,0*10^14*10^-12/6,38^2 = 9,827 m/s^2

U' = m*g*h = 176*9,827*6*10^3 = 1,038*10^7 J

in quota :

g'' = G*M/(rt+h)^2 = 4,0*10^14*10^-12/6,386^2 = 9,808 m/s^2

U'' = m*g*h' = 176*9,808*6*10^3 = 1,036*10^7 J

come era lecito attendersi, stante la modesta altezza,  i tre valori trovati sono pressoché identici (il che depone a favore della metodologia usata) : la cosa notevole è che U risulta essere intermedia tra U' ed U'', cosa  plausibile dal momento che la gravità da usare g deve essere intermedia tra g'' e g'  :  g'' < g < g' 

Ciao, con riferimento alla figura allegata potete dirmi se rf = RT + 6000 ed ri = RT ?   RT = raggio terrestre

Solo SI o NO

ri sembra r-iniziale... quindi  ri = Rt +6000m

rf sembra r-finale... quindi  rf = Rt 

NO! 

a mio parere... e poi:

lavoro della forza peso = L = -deltaU = - GmM (1/ri -1/rf) >0   solo se si sceglie al modo mio!

e L nel nostro caso  è > 0 {angolo fra P e s uguale a 0°}