Verifica che la frazione algebrica $\frac{2 a^2+a+3}{a^2+1}$ non rappresenta l'eccentricità di un'ellisse per alcun valore di $a$. (Suggerimento: occorre mostrare che la disequazione $\frac{2 a^2+a+3}{a^2+1}>1$ è soddisfatta per ogni $a \in \mathrm{R}$.)
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Livello 2
L'eccentricità e è rappresentata del rapporto
$e = \frac{c}{max\{a,b\}}$ con $ c = \sqrt{a^2+b^2}$
dove a, b sono i due semi-assi, a∈ ℝ⁺; b ∈ ℝ⁺
Dall'equazione precedente segue che $c \lt max\{a,b\}$ per cui
0 < e < 1
La formula data non rappresenta l'eccentricità se viola almeno una disequazione. Seguiamo il suggerimento e dimostriamo che
$\frac {2a^2+a+3}{a^2+1} \gt 1 \qquad \forall a \in ℝ$
$2a^2+a+3 \gt a^2+1$
$a^2+a+2 \gt 0$
e questa è vera $\forall a \in ℝ$ visto che il coefficiente del 1° termine è positivo e il discriminante è negativo. Δ = -7
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Livello 6
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Livello 1
Nella definizione delle coniche come luogo, basata sul parametro e > 0 (eccentricità), si ha
* ellissi: 0 < e < 1
* parabole: e = 1
* iperboli: e > 1
quindi il "Suggerimento" è errato: ciò che si deve dimostrare è solo che sia impossibile
* f(a) = (2*a^2 + a + 3)/(a^2 + 1) = 2 + (a + 1)/(a^2 + 1) < 1
cosa che salta agli occhi dopo aver calcolato quoziente e resto, il cui minimo è circa - 1/5.
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