Ellisse 4

Question

Conduci da P(6;-3/2) le tangenti all'elisse di equazione x^2+4y^2=9

Pazzouomo · Accepted Answer

Conduci da P(6;-3/2) le tangenti all'elisse di equazione x^2+4y^2=9

Ciao!

La retta generica che passa per $P$ ha equazione: $y = mx+q$

$-\frac32 = 6m+q \Rightarrow q = -\frac32-6m$

Quindi

$$y = mx-\frac32-6m$$

Mettiamo a sistema con l'ellisse:

$\begin{cases} x^2+4y^2=9 \\ y = mx-\frac32-6m \end{cases}$

$\begin{cases} x^2+4(mx-\frac32-6m)^2=9 \\ y = mx-\frac32-6m \end{cases}$

Otteniamo la seguente equazione di secondo grado in $x$:

$x^2+4(mx-\frac32-6m)^2=9 $

$x^2+4m^2x^2+9 +144m^2 -12mx -48xm^2 + 96 m - 9 = 0 $

$x^2(1+4m^2) +x(-12m -48m^2) + (144m^2 +96m) = 0 $

Affinché ci sia tangenza dobbiamo imporre $\Delta = 0$ dove $\Delta = b^2-4ac$

$b^-4ac = 0$

$(-12m -48m^2)^2-4 (1+4m^2) (144m^2 +96m) =0$

$ 144m^2 + 2304m^4 +1152m^3 - 4( 144m^2+96m +576m^4 +384m^3) = 0 $

$144m^2+2304 m^4+1152m^3-576m^2 -384m -2304m^4 -1536m^3 = 0

$-384m^3 -432m^2 -384m = 0 $

$ 24 m^3 +27 m^2 + 24m = 0 $

$m( 24m^2+27m+24) = 0 $

che ci dà

$ m = 0 $

perché

$( 24m^2+27m+24) = 0 $ è impossibile avendo $\Delta = 0 $

Quindi $m= 0$ e

$$y = mx-\frac32-6m \Rightarrow y = -\frac32 $$

Pazzouomo

(@pazzouomo)

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12/05/2020 14:54

[Risolto] Ellisse 4