Data una semicirconferenza di diametro AB e centro O, di raggio unitario, traccia la retta t tangente alla semicirconferenza in B. Sia C il punto medio della semicirconferenza e D il punto in cui la retta AC incontra la retta t. Detto P un punto della semicirconferenza, indica con x la distanza di P dalla retta t e con y la somma (AP) ̅^2+(PD) ̅^2. Esprimi y in funzione di x e traccia il grafico della funzione ottenuta.
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Livello 1
Ciao!
Il disegno è questo:
Usiamo i teorema di Pitagora sul triangolo in fucsia:
$PA^2 = y^2+(2-x)^2 $
Ma $P$ appartiene alla circonferenza unitaria, quindi:
$x^2+y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = 1-x^2$
Quindi: $PA^2= 1-x^2+(2-x)^2 $
Per usare il teorema di pitagora sul triangolo verde e calcolare $PD$, prima ci serve osservare che i triangoli $ACO$ e $ADB$ sono simili, quindi hanno i lati proporzionali:
$AO:AB = CO: DB $
$1:2 = 1: DB $
$DB = 2 $
allora $PD^2 = DH^2+PH^2 = (DB-x)^2+x^2 = (2-x)^2 +x ^2 $
Mettendo insieme queste cose:
$y = PD^2+PA^2 =(2-x)^2 +x ^2+ 1-x^2+(2-x)^2 =$
$=4+x^2-4x+x^2+1-x^2+4+x^2-4x = 2x^2-8x +17$
è una parabola
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Livello 5
