[Risolto] Ellisse

ATTENZIONE: il problema proposto da quest'esercizio è indeterminato per carenza di vincoli.
Infatti di ellissi centrate in C(- 1, 2) e tangenti agli assi cartesiani ce ne sono un'infinità al variare dell'inclinazione dell'asse maggiore sulla semiretta x > 0.
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L'equazione della generica conica in forma normale canonica è
* Γ ≡ A*x^2 + B*x*y + C*y^2 + D*x + E*y + F = 0
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Il vincolo che essa rappresenti un'ellisse si esprime in funzione dei coefficienti.
Si calcolano gl'invarianti
I1 = A + C
I2 = A*C - B^2/4
I3 = (4*A*C*F - A*E^2 - F*B^2 + B*D*E - C*D^2)/4
e s'impongono le condizioni
(I3 != 0): conica non degenere
(I3 != 0) & (I2 > 0): conica non degenere, ellisse (reale o immaginaria)
(I3 != 0) & (I2 > 0) & (I1*I3 < 0): conica non degenere, ellisse reale
cioè
* ((4*A*C*F + B*D*E) != (A*E^2 + F*B^2 + C*D^2)) & (4*A*C > B^2) & ((A + C)*(4*A*C*F - A*E^2 - F*B^2 + B*D*E - C*D^2) < 0)
che si riducono a imporre che siano non nulli e concordi i coefficienti dei quadrati e due condizioni equivalenti sul termine noto
* (A < 0) & (C < B^2/(4*A) < 0) & (F > (A*E^2 + C*D^2 - B*D*E)/(4*A*C - B^2))
oppure
* (A > 0) & (C > B^2/(4*A) > 0) & (F < (A*E^2 + C*D^2 - B*D*E)/(4*A*C - B^2))
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La condizione di tangenza a una retta t impone il vincolo che sia nullo il discriminante della risolvente del sistema "t & Γ".
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Per t ≡ x = 0 si ha la risolvente
* C*y^2 + E*y + F = 0
con discriminante
* Δ = E^2 - 4*C*F = 0
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Per t ≡ y = 0 si ha la risolvente
* A*x^2 + D*x + F = 0
con discriminante
* Δ = D^2 - 4*A*F = 0
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Il vincolo della doppia tangenza risulta
* (E^2 - 4*C*F = 0) & (D^2 - 4*A*F = 0) ≡
≡ (A != 0) & (F = D^2/(4*A)) & (E = ± √(C/A)*D)
che, sostituito nelle due condizioni di ellitticità, dà luogo non a quattro, ma a due soli sistemi di dis/equazioni sui coefficienti della conica
* (A < 0) & (B*D != 0) & (C < B^2/(4*A)) & (E = - √(C/A)*D) & (F = D^2/(4*A))
oppure
* (A > 0) & (B*D != 0) & (C > B^2/(4*A)) & (E = + √(C/A)*D) & (F = D^2/(4*A))
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La condizione di avere centro C(- 1, 2) impone il vincolo che in C si annulli il gradiente del polinomio
* A*x^2 + B*x*y + C*y^2 + D*x + E*y + F = 0
a primo membro di Γ.
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* ∇(A*x^2 + B*x*y + C*y^2 + D*x + E*y + F) =
= {D + 2*A*x + B*y, E + B*x + 2*C*y}
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* (D + 2*A*x + B*y = 0) & (E + B*x + 2*C*y = 0) ≡
≡ (x = (2*C*D - B*E)/(B^2 - 4*A*C) = - 1) & (y = (2*A*E - B*D)/(B^2 - 4*A*C) = 2) ≡
≡ (D = 2*(A - B)) & (E = B - 4*C)
che, sostituiti nei due sistemi di dis/equazioni ne danno uno solo compatibile
* (A < 0) & (B != 0) & (A < B < - A) & (C = A/4) & (D = 2*(A - B)) & (E = B - A) & (F = (A - B)^2/A)
da cui il fascio
* Γ ≡ A*x^2 + B*x*y + (A/4)*y^2 + 2*(A - B)*x + (B - A)*y + (A - B)^2/A = 0 ≡
≡ 4*x^2 + 4*k*x*y + y^2 + (1 - k)*(8*x - 4*y + 4*(1 - k)) = 0
equazione con un solo grado di libertà (il rapporto k = B/A), soggetto alla condizione restrittiva
* - 1 < k < 1
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ESEMPÎ
Per k = - 3/4
* Γ ≡ 4*x^2 - 3*x*y + y^2 + 14*x - 7*y + 49/4 = 0
Per k = 0
* Γ ≡ 4*x^2 + y^2 + 8*x - 4*y + 4 = 0
Per k = + 3/4
* Γ ≡ 4*x^2 + 3*x*y + y^2 + 2*x - y + 1/4 = 0
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B4*x%5E2-3*x*y-7*y%3D-y%5E2-14*x-49%2F4%2C4*%28x%5E2-y%29%3D-y%5E2-8*x-4%2C4*x%5E2-y%3D-3*x*y-y%5E2-2*x-1%2F4%5Dx%3D-2to0%2Cy%3D0to4
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DILATAZIONE (te la cerchi da te, spero!)
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Con
* (x = u*X) & (y = v*Y)
si ha
* Γ(k) ≡ (4*u^2)*X^2 + (v^2)*Y^2 + (4*u*v*k)*X*Y + 8*u*(1 - k)*X - 4*v*(1 - k)*Y + 4*(1 - k)^2 = 0
che dovrebbe rappresentare una circonferenza non degenere, di centro C(- 1, 2) e raggio r = 2.
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C=(xC;yC) = (-1;2)

Essendo tangente all'asse x e all'asse y:

Semiasse maggiore = b = yC = 2

Semiasse minore = a = |xC| = 1

La dilatazione che la trasforma in una circonferenza con uguale centro e raggio R=2, nel sistema di coordinate (X, Y)  è:

{x+1 = (X+1)/2

{y = Y

Da cui si ricava 

[(X+1)²/4] + [(Y-2)²/4] = 1