Ellisse

Nella mia risposta al link
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/87085/
che io avevo pubblicata dieci minuti prima che tu pubblicassi questa domanda, t'avevo già dato tutte le indicazioni necessarie; avresti dovuto leggerla con calma e, magari, stamparla per tenerla sott'occhio per i futuri esercizi sulle ellissi.
Ti svolgo quest'esercizio senza commentare perché le considerazioni sono quasi tutte lì.
Ricopio qui in fondo le considerazioni generali.
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L'ellisse
* Γ ≡ (x/4)^2 + (y/3)^2 = 1
ha
* semiassi (a, b) = (4, 3)
* vertici V(± 4, 0) e V(0, ± 3)
* semidistanza focale c = √(4^2 - 3^2) = √7
* fuochi F(± √7, 0)
* eccentricità e = √7/4
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Il rettangolo descritto ha i vertici nelle soluzioni del sistema dei punti comuni fra Γ e le rette dei lati paralleli all'asse y
* ((x/4)^2 + (y/3)^2 = 1) & (x^2 = 7) ≡ ABCD(± √7, ± 9/4)
da cui
* rette dei lati paralleli all'asse x: y^2 = 81/16
* lunghezze dei lati: 2*√7, 9/2
* perimetro p = 2*(2*√7 + 9/2) = 9 + 4*√7
* area S = (2*√7)*9/2 = 9*√7
che è proprio il risultato atteso.
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RISPOSTE AI QUESITI
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1) ABCD sono su Γ? Sì, per costruzione.
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2) I fuochi sono F(± √7, 0).
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3) y = 0, x = - √7, x = √7.
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4) Risolvendo ((x/4)^2 + (y/3)^2 = 1) & (x^2 = 7).
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5) E mo questa che c'entra con l'esercizio?
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La distanza d = |AB| fra due dati punti A(a, p) e B(b, q) è
* per a = b: d = |p - q|
* per p = q: d = |a - b|
* altrimenti: d = √(|a - b|^2 + |p - q|^2)
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CONSIDERAZIONI COPIATE
Ogni ellisse Γ riducibile alla forma normale standard
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
ha centro nell'origine, assi di simmetria su quelli coordinati, semiassi (a, b) entrambi positivi e diversi fra loro (a = b ≡ circonferenza), vertici V(± a, 0) e V(0, ± b), fuochi ...
beh, bisogna distinguere secondo la relazione fra i semiassi.
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A) a < b
* semidistanza focale c = √(b^2 - a^2)
* fuochi F(0, ± c)
* eccentricità e = c/b
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B) a > b
* semidistanza focale c = √(a^2 - b^2)
* fuochi F(± c, 0)
* eccentricità e = c/a