Ellisse

Ciao.

Penso di risponderti dopo cena.

OK. Procedo nel seguente modo. Dico che abbiamo due possibilità:

1^ possibilità:

L'ellisse è interna e tangente al triangolo definito dai punti A(0,0); B(0,3); C(2,0) con centro in [α, 2·α] quindi con semiasse maggiore disposto nella direzione delle ordinate.

2^ possibilità:

L'ellisse è interna e tangente al triangolo definito dai punti A(0,0); B(0,3); C(2,) con centro in [2·β, β] quindi con semiasse maggiore disposto nella direzione delle ascisse.

Nella prima possibilità possiamo scrivere:

{(x - α)^2/α^2 + (y - 2·α)^2/(2·α)^2 = 1

{y = 3 - 3/2·x

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risolviamo per sostituzione:

(x - α)^2/α^2 + ((3 - 3/2·x) - 2·α)^2/(2·α)^2 = 1

sviluppando i calcoli si ottiene:

(25·x^2 - 4·x·(2·α + 9) + 4·(8·α^2 - 12·α + 9))/(16·α^2) = 1

25·x^2 - 4·x·(2·α + 9) + 4·(4·α^2 - 12·α + 9) = 0

Condizione di tangenza: Δ/4 = 0

(- 2·(2·α + 9))^2 - 100·(4·α^2 - 12·α + 9) = 0

- 384·α^2 + 1344·α - 576 = 0-------> 192·(3 - α)·(2·α - 1) = 0

soluzioni:

α = 1/2 ∨ α = 3 si scarta la seconda perché si avrebbe: [3,6] come centro dell'ellisse relativa esterno al triangolo  ABC

Quindi equazione: 

(x - 1/2)^2/(1/2)^2 + (y - 2·(1/2))^2/(2·(1/2))^2 = 1

(2·x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1

Nella seconda possibilità possiamo scrivere:

{(x - 2·β)^2/(2·β)^2 + (y - β)^2/β^2 = 1

{y = 3 - 3/2·x

procediamo come prima:

(x - 2·β)^2/(2·β)^2 + ((3 - 3/2·x) - β)^2/β^2 = 1

(5·x^2 + 2·x·(2·β - 9) + 2·(2·β^2 - 6·β + 9))/(2·β^2) = 1

5·x^2 + 2·x·(2·β - 9) + 2·(β^2 - 6·β + 9) = 0

Condizione di tangenza: Δ/4 = 0

(2·β - 9)^2 - 10·(β^2 - 6·β + 9) = 0

- 6·β^2 + 24·β - 9 = 0--------> 2·β^2 - 8·β + 3 = 0

che risolta fornisce:

β = 2 - √10/2 ∨ β = √10/2 + 2

( la seconda soluzione è fuori del triangolo ABC)

a cui corrisponde l'ellisse:

(x - 2·(2 - √10/2))^2/(2·(2 - √10/2))^2 +(y - (2 - √10/2))^2/(2 - √10/2)^2 = 1

che sviluppata opportunamente dovrebbe portare al risultato dato nel testo.

Le ellissi con assi di simmetria paralleli agli assi coordinati hanno la forma
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
che dipende dai semiassi (a, b) e dalle coordinate del centro C(α, β).
Dato il significato di (a, b) si deve avere (a > 0) & (b > 0).
Se "il semiasse maggiore è doppio del minore" allora i semiassi sono (2*b, b) oppure (a, 2*a) e la richiesta iniziale al plurale significa che si devono usare sia
* Γ1 ≡ ((x - α)/(2*b))^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
che
* Γ2 ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/(2*a))^2 = 1
e che entrambe le forme si devono particolarizzare per risultare tangenti ai lati del triangolo di vertici
* A(0, 0), B(0, 3), C(2, 0)
che sono i semiassi positivi degli assi coordinati e il segmento BC della retta
* t ≡ x/2 + y/3 = 1 ≡ y = (3/2)*(2 - x)
e pertanto si deve avere (α > 0) & (β > 0), ma C(α, β) al di sotto di t, cioè
* (0 < α < 2) & (0 < β < 3)
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Alle condizioni di tangenza con gli assi si soddisfà localizzando il centro a distanza di semiasse dalle tangenti coordinate
* Γ1 ≡ ((x - 2*b)/(2*b))^2 + ((y - b)/b)^2 = 1
* Γ2 ≡ ((x - a)/a)^2 + ((y - 2*a)/(2*a))^2 = 1
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Invece per la tangenza con t si fa come al solito: sistema, risolvente, discriminante a zero.
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* t & Γ1 ≡ (y = (3/2)*(2 - x)) & (((x - 2*b)/(2*b))^2 + ((y - b)/b)^2 = 1)
* ((x - 2*b)/(2*b))^2 + (((3/2)*(2 - x) - b)/b)^2 - 1 = 0
* Δ(b) = - 3*(2*b^2 - 8*b + 3)/b^4 = 0 ≡
≡ 2*b^2 - 8*b + 3 = 0 ≡
≡ (b = 2 - √(5/2) ~= 0.42) oppure (b = 2 + √(5/2) ~= 3.58) ≡
≡ b = 2 - √(5/2) (3.58 vïola i vincoli)
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* t & Γ2 ≡ (y = (3/2)*(2 - x)) & (((x - a)/a)^2 + ((y - 2*a)/(2*a))^2 = 1)
* ((x - a)/a)^2 + (((3/2)*(2 - x) - 2*a)/(2*a))^2 - 1 = 0
* Δ(a) = - 3*(2*a^2 - 7*a + 3)/a^4 = 0 ≡
≡ 2*a^2 - 7*a + 3 = 0 ≡
≡ (a = 1/2) oppure (a = 3) ≡
≡ a = 1/2 (3 vïola i vincoli)
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* Γ1 ≡ ((x - 2*(2 - √(5/2)))/(2*(2 - √(5/2))))^2 + ((y - (2 - √(5/2)))/(2 - √(5/2)))^2 = 1 ≡
≡ x^2 - 2*(4 - √10)*x + 4*y^2 + (4*√10 - 16)*y - 8*√10 + 26 = 0
RISULTATO ATTESO
* (x - 4 + √10)^2 + (2*y - 4 + √10)^2 = 26 - 8*√10 ≡
≡ (x - 4 + √10)^2 + (2*y - 4 + √10)^2 - (26 - 8*√10) = 0 ≡
≡ x^2 + (2*√10 - 8)*x + 4*y^2 + (4*√10 - 16)*y - 8*√10 + 26 = 0
OK
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* Γ2 ≡ ((x - (1/2))/(1/2))^2 + ((y - 2*(1/2))/(2*(1/2)))^2 = 1 ≡
≡ ((x - (1/2))/(1/2))^2 + ((y - 2*(1/2))/(2*(1/2)))^2 - 1 = 0 ≡
≡ 4*x^2 - 4*x + y^2 - 2*y + 1 = 0
RISULTATO ATTESO
* (2*x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 ≡
≡ (2*x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 1 = 0 ≡
≡ 4*x^2 + y^2 - 4*x - 2*y + 1 = 0
OK