Ellisse

@iaccarinivictoria

Ciao. L'ellisse da ricercare ha equazione: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

Siccome i fuochi stanno sull'asse delle ordinate, succede che l'eccentricità è data da e=c/b=|-4|/b

Con formula inversa: 2/3 = 4/b---->b = 6---->b--->b^2=36

Poi sai che: a^2=b^2-c^2 quindi: a^2=36 - 4^2 = 20

Quindi l'equazione dell'ellisse è:

x^2/20+y^2/36=1

Ciao

P.S. Puoi verificare quanto ottenuto andando sul sito:

https://www.wolframalpha.com/

e digitando sulla barra della formula:

properties of x^2/20+y^2/36=1

• "equazione canonica dell'ellisse avente centro nell'origine". Cioè x²/a²+y²/b²=1
• "un fuoco nel punto F1(0,−4)". I fuochi avranno coordinate yF=±4 e questo significa che:

-) i fuochi giacciono sull'asse delle y.

-) che |yF| = √(b²-a²) = 4 ⇒ b² > a²

-) c² = b²-a² ⇒ c = 4

• "l'eccentricità e = 2/3" cioè e = c/b ovvero 2/3 = 4/b dalla quale ricaviamo b = 4*3/2 = 6 
• determinato b facilmente ricaviamo b² e a²

-) b² = 36

-) a² = b²-c² = 36-16 = 20

L'equazione dell'ellisse è  x²/20+y²/36=1

https://www.desmos.com/calculator/zwdre4f7is

Gli appunti preliminari di cui ti ho parlato al link
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/20835/
per quest'esercizio hanno una forma più semplice.
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L'asse focale dell'ellisse è l'asse maggiore.
Quest'ellisse ha il fuoco F1(0, - 4) sull'asse y che quindi è asse focale.
Essendo centrata in O(0, 0) l'asse minore deve giacere sull'asse x.
Di conseguenza il secondo fuoco è F2(0, 4) e l'equazione ha la forma
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1, con b > a.
Nel triangolo rettangolo con vertici il centro O, un fuoco F e un vertice V dell'asse minore si hanno le distanze
* |OV| = semiasse minore
* |OF| = c = semidistanza focale
* |FV| = semiasse maggiore
fra cui vale la relazione pitagorica
* (semiasse maggiore)^2 = (semiasse minore)^2 + (semidistanza focale)^2
che nel caso in esame si scrive
* b^2 = a^2 + c^2 = a^2 + 4^2
L'eccentricità "e" dell'ellisse è definita dal rapporto
* e = (semiDistanzaFocale c)/(semiasse maggiore)
che nel caso in esame si scrive
* e = c/b = 4/b
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CALCOLI
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"ed eccentricità uguale a 2/3" ≡ 4/b = 2/3 ≡ b = 6
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/6)^2 = 1
il semiasse minore si ricava da
* b^2 = a^2 + 4^2 ≡ 6^2 = a^2 + 4^2 ≡ a = 2*√5
e infine
* Γ ≡ (x/(2*√5))^2 + (y/6)^2 = 1