Scrivi l'equazione dell'ellisse avente centro nel punto $C(2,1)$, assi paralleli agli assi cartesiani e tangente nel punto $P(4,2)$ alla retta di equazione $y=-\frac{1}{2} x+4$.
$$
\left[\frac{(x-2)^2}{8}+\frac{(y-1)^2}{2}=1\right]
$$
Scrivi l'equazione dell'ellisse avente centro nel punto $C(2,1)$, assi paralleli agli assi cartesiani e tangente nel punto $P(4,2)$ alla retta di equazione $y=-\frac{1}{2} x+4$.
$$
\left[\frac{(x-2)^2}{8}+\frac{(y-1)^2}{2}=1\right]
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Livello 2
Il fascio Γ(a, b) delle ellissi traslate, di semiassi positivi (a, b) e centro C(2, 1), ha equazione
* Γ(a, b) ≡ ((x - 2)/a)^2 + ((y - 1)/b)^2 = 1
Il vincolo di tangenza con la retta
* t ≡ y = 4 - x/2
cioè l'azzeramento del discriminante Δ(a, b) della risolvente
* ((x - 2)/a)^2 + ((4 - x/2 - 1)/b)^2 - 1 = 0 ≡
≡ (x - 2)^2/a^2 + (x - 6)^2/(4*b^2) - 1 = 0
* Δ(a, b) = (a^2 + 4*b^2 - 16)/(a*b)^2 = 0 ≡ a = 2*√(4 - b^2)
da cui
* Γ(b) ≡ ((x - 2)/(2*√(4 - b^2)))^2 + ((y - 1)/b)^2 = 1
Il vincolo d'appartenenza di P(4, 2) è
* (((4 - 2)/(2*√(4 - b^2)))^2 + ((2 - 1)/b)^2 = 1) & (b > 0) ≡ b = √2
da cui
* a = 2*√(4 - 2) = 2*√2
* Γ ≡ ((x - 2)/(2*√2))^2 + ((y - 1)/√2)^2 = 1
che è proprio il risultato atteso.
57798
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Genius I
@exprof Grazie Prof.