[Risolto] Ellisse 1

Ciao!

Dato che vogliamo solo rette parallele all'asse $x$, stiamo cercando delle rette del tipo $y = k$.

Mettiamo a sistema queste condizioni:

$\begin{cases} \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{12} = 1 \\ y = k \end{cases}$

$\begin{cases} \frac{x^2}{2}+\frac{k^2}{12} = 1 \\ y = k \end{cases}$

$\begin{cases} 6x^2+k^2-12=0 \\ y = k \end{cases}$

$x^2 = \frac{12-k^2}{6}$

$x^2= 2-\frac{k^2}{6}$

$x = \pm \sqrt{2-\frac{k^2}{6}}$

I punti di intersezione, quindi, sono:

$A( + \sqrt{2-\frac{k^2}{6}}; k)$ e $B(-\sqrt{2-\frac{k^2}{6}}; k)$

Da cui la distanza tra i due punti è:

$\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} = \sqrt{ (\sqrt{2-\frac{k^2}{6}} +\sqrt{12-\frac{k^2}{6}})^2+(k-k)^2} = \sqrt{ (2\sqrt{2-\frac{k^2}{6}})^2+0}$

ma sappiamo che la distanza deve essere $\sqrt{2}$ quindi

$ \sqrt{ (2\sqrt{2-\frac{k^2}{6}})^2}=\sqrt{2}$

Eleviamo al quadrato:

$(2\sqrt{2-\frac{k^2}{6}})^2 = 2 $

$ 4(2-\frac{k^2}{6}) = 2$

$8 -\frac{4k^2}{6} = 2 $

$\frac{4k^2}{6}= 6$

$k^2 = \frac{36}{4} =9 $

$k = \pm \sqrt{9}= \pm 3 $