[Risolto] Elisse terzo liceo linguistico

Tutt'e tre le equazioni dell'esercizio #4 rappresentano coniche perché hanno la forma
* "polinomio di secondo grado in x e y = costante"
però la consegna non mi sembra soddisfacibile per com'è scritta (riconosci; scrivi ...; indica l'asse focale) perché per me il riconoscimento si fa per distinzione di casi sulla forma normale standard e in generale, per ottenere questa, serve la forma normale canonica.
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Pertanto la procedura risolutiva è al contrario.
1) Scrivere la forma normale canonica
* p(x, y) = 0
2) Se il complesso dei termini di grado due è un quadrato di binomio, allora p(x, y) = 0 rappresenta una parabola (riguarda un altro esercizio) e si smette.
Se non è un quadrato di binomio, allora p(x, y) = 0 rappresenta una conica a centro e si prosegue.
3) Ricavare la forma normale standard
* s(x, y) = (x/a)^2 ± (y/b)^2 = "uno di {- 1, 0, 1}"
4) Se il termine noto è zero, allora s(x, y) = 0 rappresenta una conica degenere (riguarda un altro esercizio) e si smette.
Se non è zero, allora si scrive
* s(x, y) = (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1
e si prosegue con la distinzione delle coniche a centro non degeneri in base alla configurazione dei doppi segni e alla relazione fra i semiassi (a, b).
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DISTINZIONE DI CASI
1) (±, ±) = (-, -) & (=====): iperbole con asse focale y
2) (±, ±) = (-, +) & (=====): iperbole con asse focale x
3) (±, ±) = (+, -) & (=====): ellisse immaginaria
4) (±, ±) = (+, +) & (a < b): ellisse reale con asse focale y
5) (±, ±) = (+, +) & (a = b): circonferenza
6) (±, ±) = (+, +) & (a > b): ellisse reale con asse focale x
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ESERCIZIO #4
a) y^2 + 4*x^2 = 16
b) 1 - x^2 + 25*y^2 = 0
c) x^2/4 + (4/9)*y^2 = 1
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Forma normale canonica
a) 4*x^2 + y^2 - 16 = 0
b) x^2 - 25*y^2 - 1 = 0
c) x^2/4 + (4/9)*y^2 - 1 = 0
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Forma normale standard e indicazione del caso
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a) 4*x^2 + y^2 - 16 = 0 ≡
≡ 4*x^2/16 + y^2/16 - 16/16 = 0 ≡
≡ (x/2)^2 + (y/4)^2 = 1 ≡ caso 4
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b) x^2 - 25*y^2 - 1 = 0 ≡
≡ (x/1)^2 - (y/(1/5))^2 = 1 ≡ caso 2
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c) x^2/4 + (4/9)*y^2 - 1 = 0 ≡
≡ (x/2)^2 + (y/(3/2))^2 = 1 ≡ caso 6
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RISPOSTA
Soddisfanno alla consegna le equazioni a e c, ma non la b.

@iaccarinivictoria

Vedo che sei nuova. Quindi consiglio per le prossime volte: leggi il Regolamento!

Scrivi: y^2 + 4·x^2 = 16

poi riporta l'espressione alla forma:

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 dividendo per 16:

x^2/4 + y^2/16 = 1 Riconosci che è una ellisse!

a^2 = 4 ; b^2 = 16 con b^2>a^2 quindi i fuochi stanno sull'asse delle y.

Per le coordinate dei fuochi, in questo caso F(0,c) ricavi c come:

c=√(b^2 - a^2)=√(16 - 4) = 2·√3

F1(0,-2·√3) ed F2(0,2·√3)

Studia. Ciao