relazione di equivalenza

Question

Per ciascuna delle seguenti relazioni, indica se si tratta di una relazione di equivalenza. In caso affermativo, specifica il numero delle classi di equivalenza che costituiscono l'insieme quoziente.
a. Nell'insieme $A=\{\text { rette del piano }\}, \mathscr{R}: r \mathscr{R} s \leftrightarrow r$ e $s$ hanno almeno un punto in comune.
b. Nell'insieme $A=\{-1,1\}, \mathscr{R}: x \mathscr{R} y \leftrightarrow x \cdot y=1$
c. Nell'insieme $A=\mathbb{Z}, \mathscr{R}: x \mathscr{R} y \leftrightarrow(x-y)$ è un multiplo di 2
d. Nell'insieme $A=\mathbb{N}-\{0\}, \mathscr{R}: x \mathscr{R} y \leftrightarrow x$ è un divisore di $y$

Autore

Risposta

Lorenzo00

(@lorenzo00)

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22/06/2020 13:57

exProf · Accepted Answer

Nel formato* {insieme, relazione}si ha---------------a) {rette del piano, almeno un punto comune}: NON equivalenza.Manca la transitività, immagina due parallele tagliate da una trasversale.---------------b) {{- 1, 1}, x*y = 1}: equivalenza. L'insieme quoziente è {[- 1], [1]}---------------c) {Z, la differenza è multipla di due}: equivalenza.L'insieme quoziente è {[2*k], [2*k + 1]} con k in Z.---------------d) {i numeri naturali, un elemento è divisore dell'altro}: NON equivalenza.Manca la simmetria, immagina il numero due e un altro numero pari.NOTALo zero non è un numero naturale: scrivere N - {0} imbroglia le idee degli alunni.

Math · Answer

Affinché  mathscr {R} sia una relazione di equivalenza devono valere le proprietà simmetrica, riflessiva e transitiva.a. Non è una relazione di equivalenza in quanto non vale la proprietà transitiva.b. E' una relazione di equivalenza: ogni elemento è in relazione solo con se stesso, quindi le classi di equivalenza sono 2c. Si, è riflessiva ( 0 è un multiplo di 2 ), simmetrica e transitiva. Verifichiamo la transitività:[x-y=2 k  quad  wedge  quad y-z=2 h  quad  rightarrow  quad x-y+y-z=x-z=2(h+k)]Le classi di equivalenza sono 2 , l'insieme dei numeri pari e l'insieme dei numeri dispari.d. No, non vale la proprietà simmetrica.

[Risolto] relazione di equivalenza

Domande