E' dato il rombo $A B C D$ circoscritto a una circonferenza di centro $O$ e raggio $r$. Indica con $x$ langolo $\widehat{O A} B$ e determina, al variare di $x$, l'area $A(x)$ del rombo. Trova per quali valori di $x$ si ha $A(x)=\frac{8}{3} \sqrt{3} r^2 . \quad\left[A(x)=\frac{4 r^2}{\sin 2 x} ; \frac{\pi}{6} v \frac{\pi}{3}\right]$
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punti
Livello 0
Occorre conoscere le diagonali. Dalla figura si ricava:
$$
\begin{gathered}
\overline{A O}=\frac{\overline{O H}}{\sin x}=\frac{r}{\sin x} \\
\overline{O B}=\overline{A O} \cdot \tan x=\frac{r}{\cos x}
\end{gathered}
$$
Da cui l'area:
$$
A(x)=2 \cdot \overline{O B} \cdot \overline{A O}=\frac{2 r^2}{\sin x \cos x}=\frac{4 r^2}{\sin 2 x}
$$
Ora poniamo l'area uguale alla condizione indicata e ricaviamo l'angolo x:
$$
\frac{4 r^2}{\sin 2 x}=\frac{8}{3} \sqrt{3} r^2 \Rightarrow \sin 2 x=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 2 x=\frac{\pi}{3} \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}
$$
L'area può essere espressa con la cosecante:
$$
A(x)=4 r^2 \csc (2 x)
$$
inoltre $x$ può variare da 0 a $\pi / 2$ (e quindi $2 x$ da 0 a $\pi$ ).
Il questo intervallo il grafico della cosecante è:
La minima area si ha quando x= π/4 e in questo caso il rombo degenera in un quadrato.
64
punti
Livello 1
@ales ma ho due osservazioni:innanzitutto l’aria si calcola base per h :2 e non 2*ob*ao e poi se fosse giusto come hai fatto a trovarti da 2r^2/cosx*senx a 4r^2/sin2x?
@ales stai facendo un errore, in quanto non hai considerato che OB e OA sono le metà delle diagonali. Quindi è giusto considerare 2*(OB*OA) per trovare l'area. Sin2x si ottiene con la formula di duplicazione del seno, che dice che 2*sin(x)*cos(x) si può scrivere come sin(2x). Spero possa esserti d'aiuto.
