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Due onde armoniche della stessa ampiezza a e con la stessa pulsazione...

  

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Due onde armoniche della stessa ampiezza a e con la stessa pulsazione $\omega$ giungono nello stesso punto e si sovrappongono. L'onda risultante è descritta dalla formula:
$$
y=\sqrt{3} a \cos (\omega t+\pi / 4) .
$$
Scrivi le equazioni che descrivono le due onde iniziali.
Calcola la differenza di fase tra le due onde.
- Calcola la differenza di fase iniziale che fornirebbe un'onda risultante di ampiezza $a$.

Suggerimento: ricorda che in trigonometria vale la relazione: $\cos \alpha \cos \beta=1 / 2[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)]$ e che lampiezza $\sqrt{3} a$ può essere scritta come $\frac{\sqrt{3}}{2}(2 a)$.)
$$
\left[y_1=a \cos (\omega t+5 / 12 \pi), y_2=a \cos (\omega t+\pi / 12) ; \pi / 3 ; \pm 2 / 3 \pi+4 k \pi\right]
$$

es1
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1 Risposta
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Sovrapposizione di due onde

@fefe

Ciao e benvenuta.

Le due onde iniziali sono:

y = a·COS(ω·t + α)

y = a·COS(ω·t + β)

con ω = 2·pi·f stessa pulsazione ed a stessa ampiezza con differenza di fase Δφ = α - β.

Nel punto P hanno per somma:

y= a·COS(ω·t + α) + a·COS(ω·t + β) = √3·a·COS(ω·t + pi/4)

Ricordiamoci l'identità goniometrica:

COS(v) + COS(w) = 2·COS((v + w)/2)·COS((v - w)/2)

che nel nostro caso permette di dire che:

COS(ω·t + α) + COS(ω·t + β) =

=2·COS(((ω·t + α) + (ω·t + β))/2)·COS(((ω·t + α) - (ω·t + β))/2)

quindi:

COS(ω·t + α) + COS(ω·t + β) = 2·COS(ω·t + (α + β)/2)·COS((α - β)/2)

da essa si deduce che:

2·a·COS(ω·t + (α + β)/2)·COS((α - β)/2) = √3·a·COS(ω·t + pi/4)

il fattore contenente t ossia COS(ω·t + (α + β)/2) è tale per cui deve essere

(α + β)/2 = pi/4

cioè la fase risultante dell'onda in P è la media delle due onde sorgenti.

Gli altri fattori senza t sono tali per cui:

2·a·COS((α - β)/2) = √3·a-----> COS((α - β)/2) = √3/2

quindi: (α - β)/2 = pi/6

Scriviamo quindi il sistema:

{(α - β)/2 = pi/6

{(α + β)/2 = pi/4

che fornisce soluzione: [α = 5·pi/12 ∧ β = pi/12]

Quindi le due onde di partenza sono:

y = a·COS(ω·t + 5/12·pi)  e  y = a·COS(ω·t + pi/12)

Il loro sfasamento è:

Δφ = α - β = 5/12·pi - pi/12-------> Δφ = pi/3

Mentre la differenza di fase iniziale che nel punto P fornirebbe un'onda di ampiezza a è data da:

2·a·COS(ω·t + (α + β)/2)·COS((α - β)/2) = a·COS(ω·t + pi/4)

{(α + β)/2 = pi/4

{2·a·COS((α - β)/2) = a

dalla seconda:

COS((α - β)/2) = 1/2----> (α - β)/2 = ± pi/3 + 2·k·pi

quindi: Δφ = α - β = ± 2/3·pi + 4·k·pi

 

 

 




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