Sovrapposizione di due onde
@fefe
Ciao e benvenuta.
Le due onde iniziali sono:
y = a·COS(ω·t + α)
y = a·COS(ω·t + β)
con ω = 2·pi·f stessa pulsazione ed a stessa ampiezza con differenza di fase Δφ = α - β.
Nel punto P hanno per somma:
y= a·COS(ω·t + α) + a·COS(ω·t + β) = √3·a·COS(ω·t + pi/4)
Ricordiamoci l'identità goniometrica:
COS(v) + COS(w) = 2·COS((v + w)/2)·COS((v - w)/2)
che nel nostro caso permette di dire che:
COS(ω·t + α) + COS(ω·t + β) =
=2·COS(((ω·t + α) + (ω·t + β))/2)·COS(((ω·t + α) - (ω·t + β))/2)
quindi:
COS(ω·t + α) + COS(ω·t + β) = 2·COS(ω·t + (α + β)/2)·COS((α - β)/2)
da essa si deduce che:
2·a·COS(ω·t + (α + β)/2)·COS((α - β)/2) = √3·a·COS(ω·t + pi/4)
il fattore contenente t ossia COS(ω·t + (α + β)/2) è tale per cui deve essere
(α + β)/2 = pi/4
cioè la fase risultante dell'onda in P è la media delle due onde sorgenti.
Gli altri fattori senza t sono tali per cui:
2·a·COS((α - β)/2) = √3·a-----> COS((α - β)/2) = √3/2
quindi: (α - β)/2 = pi/6
Scriviamo quindi il sistema:
{(α - β)/2 = pi/6
{(α + β)/2 = pi/4
che fornisce soluzione: [α = 5·pi/12 ∧ β = pi/12]
Quindi le due onde di partenza sono:
y = a·COS(ω·t + 5/12·pi) e y = a·COS(ω·t + pi/12)
Il loro sfasamento è:
Δφ = α - β = 5/12·pi - pi/12-------> Δφ = pi/3
Mentre la differenza di fase iniziale che nel punto P fornirebbe un'onda di ampiezza a è data da:
2·a·COS(ω·t + (α + β)/2)·COS((α - β)/2) = a·COS(ω·t + pi/4)
{(α + β)/2 = pi/4
{2·a·COS((α - β)/2) = a
dalla seconda:
COS((α - β)/2) = 1/2----> (α - β)/2 = ± pi/3 + 2·k·pi
quindi: Δφ = α - β = ± 2/3·pi + 4·k·pi