Ragazzi scusate ho un dubbio sulle funzioni composte.
Per quanto riguarda la continuità Se avessi f(g(x)) se g(x) è continua allora anche f(g(x)) lo è per composizione quindi guardo prima quello che c'è dentro se è continuo e poi stabilisco per quello fuori Nelle derivata invece Se avessi f(g(x)) Io so che se f è derivabile lo sarà anche quello dentro ovvero g(x) Sto sbagliando? Quindi nel caso della continuità guardo prima cosa c'è dentro e poi quello fuori, nelle derivate l'incontrario?
1
punto
Livello 0
Se $f$ è derivabile non è detto che in $f \circ g$ la funzione $g$ sia derivabile, anche se $f \circ g$ è derivabile.
Esempio: sia $f(x)=x^2$, questa funzione è derivabile, e sia $g(x)=|x|$, questa invece non è derivabile in $x=0$. La funzione $f(g(x))=|x|^2=x^2$ è derivabile ed è pari a $2x$ in tutto $\mathbb{R}$.
$D(f(g(x))=f'(g(x))g'(x)=2|x| \frac{x}{|x|}=2x$ per ogni $x$ non nullo. Come puoi notare questa relazione è valida solo nei punti ove sia $f$ che $g$ sono derivabili, quindi non è detto che $g$ sia derivabile su tutto l'insieme considerato.
L'analisi della derivabilità va fatta sempre sui punti critici della funzione data.
6218
punti
Livello 6
