Se, nel triangolo ABC rettangolo in C, l'ipotenusa c = |AB| = 4 e l'angolo β = 30° esso è metà di un triangolo equilatero di lato c e altezza a = |BC| = 2*√3; il cateto minore è b = |AC| = c/2 = 2 e l'angolo α = 60°.
Il trapezio CANM, rettangolo in C, ha
* altezza h = a/2 = √3
* base maggiore b = 2
* base minore b/2 = 1 (→ |MN|^2 = 1)
Il punto P, cursore sul segmento AC, dista dagli estremi
* |PA| = x
* |PC| = 2 - x
La distanza di P da M è l'ipotenusa dei cateti (2 - x, h)
* |PM|^2 = (2 - x)^2 + h^2 = (2 - x)^2 + 3
* |PM|^2 + |MN|^2 = x^2 - 4*x + 8
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Per cercare di calcolare |PN|^2 senza il teorema di Carnot considero il punto H, proiezione di N su AC e suo punto medio
* se x < 1 (P in AH) allora |PN|^2 = h^2 + (1 - x)^2
* se x = 1 (P ≡ H) allora |PN|^2 = h^2 + (1 - x)^2 = h^2
* se x > 1 (P in CH) allora |PN|^2 = h^2 + (x - 1)^2
cioè, ovunque sia P (0 <= x <= 2), si ha comunque
* |PN|^2 = h^2 + (x - 1)^2 = 3 + (x - 1)^2 = x^2 - 2*x + 4
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La funzione da minimizzare risulta
* y = |PM|^2 + |MN|^2 + |PN|^2 = x^2 - 4*x + 8 + x^2 - 2*x + 4 ≡
≡ y = 2*(x^2 - 3*x + 6) ≡
≡ y = 2*((x - 3/2)^2 - (3/2)^2 + 6) ≡
≡ y = 2*(x - 3/2)^2 + 15/2
e il minimo, per una parabola con apertura a = 2 > 0, è nel vertice V(3/2, 15/2).
