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[Risolto] Dominio di una funzione logaritmica

  

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Ciao, qualcuno può spiegarmi perché il dominio di y=In(x^2+1) è tutto R anche se la soluzione di x^2+1>0 è 1? Per esempio per y=In(1+2x+x^2) il dominio è x diverso da -1 come da risultato della disequazione in parentesi e non capisco la differenza. Grazie mille!

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COME SAREBBE "non capisco la differenza", L'HAI SCRITTA TU!
La differenza è "2*x", non c'è molto da capire.
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Le funzioni logaritmo log(b, a) sono definite quasi ovunque eccetto che per le basi b in {- 1, 0, 1} e per l'argomento nullo a = 0.
La base del logaritmo naturale è un valore lecito [e non in {- 1, 0, 1}], quindi
* log(e, a) = ln(a)
è definita quasi ovunque eccetto che per a = 0.
In dettaglio:
* per a complesso, ln(a) ha valore complesso;
* per a reale negativo, ln(a) ha valore complesso;
* per a nullo, ln(a) è indefinita;
* per a reale positivo, ln(a) ha valore reale.
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NEL CASO IN ESAME
Ciò che scrivi denota scarsa familiarità con le disequazioni i cui risultati non sono quasi mai singoli valori, ma unioni di intervalli e valori.
"la soluzione di x^2+1>0 è 1" è un errore marchiano.
"la disequazione in parentesi" non esiste, in parentesi c'è un polinomio.
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Ad ogni buon conto ...
Se x è una variabile reale tutti i polinomi in x con coefficienti reali hanno valori reali ovunque; in particolare anche i tuoi due esempi
* p(x) = x^2 + 1
* q(x) = 1 + 2*x + x^2 = (x + 1)^2
hanno valore reale per ogni x.
* p(x), in quanto somma di un quadrato con una costante positiva è positivo ovunque; quindi il suo logaritmo naturale è definito ovunque con valori reali.
* q(x), in quanto quadrato di un binomio lineare è non negativo ovunque; quindi il suo logaritmo naturale è definito quasi ovunque con valori reali eccetto che nello zero del binomio, là dove è indefinito.
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Pertanto la differenza che hai scritto tu (ma senza vederla!) è che un argomento non ha zeri reali e l'altro sì.




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@studentessa_ ciao

per l'esistenza della funzione data:

$y=ln(x^2+1)$

è necessario che l'argomento sia positivo:

cioè

$x^2+1>0$

$x^2>-1$

questa disequazione è sempre vera $\forall x\in R$

 

 



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