[Risolto] Dominio di funzioni a due variabili e derivata direzionale

L'insieme di definizione è rappresentato in figura in verde scuro.

Insieme aperto (non contiene la sua frontiera); limitato , connesso.

z = LN(1 + x·y)/√(6 - x^2 - y^2)

Derivate parziali:

z'x=(x·(x·y + 1)·LN(x·y + 1) - y·(x^2 + y^2 - 6))/((x·y + 1)·(- x^2 - y^2 + 6)^(3/2))

z'y=y·LN(x·y + 1)/(- x^2 - y^2 + 6)^(3/2) + x/((x·y + 1)·√(- x^2 - y^2 + 6))

valutate in [1,2]

(1·(1·2 + 1)·LN(1·2 + 1) - 2·(1^2 + 2^2 - 6))/((1·2 + 1)·(- 1^2 - 2^2 + 6)^(3/2))

=LN(3) + 2/3

------------------------------

2·LN(1·2 + 1)/(- 1^2 - 2^2 + 6)^(3/2) + 1/((1·2 + 1)·√(- 1^2 - 2^2 + 6))

=2·LN(3) + 1/3

Quindi il gradiente in [1,2]:

[LN(3) + 2/3, 2·LN(3) + 1/3]

La derivata direzionale è:

[LN(3) + 2/3, 2·LN(3) + 1/3]·[-1, 1]/√((-1)^2 + 1^2) = √2·LN(3)/2 - √2/6=

=0.54113

La risposta che sto per darti è una frana: io non conosco i metodi per nome e non riesco a seguire i manoscritti; perciò non posso seguire né il tuo svolgimento né la risposta di Alfonso.
Però le definizioni le conosco e rispondo applicandole al caso in esame.
Dominio: prodotto cartesiano degl'insiemi su cui variano le variabili indipendenti (piano Oxy).
Codominio: prodotto cartesiano degl'insiemi su cui variano le variabili dipendenti (piano Argand-Gauss).
Insieme di definizione: Dominio\{dov'è indefinita} (Oxy\{(x*y=-1)∪(x^2+y^2=6)}).
Insieme di definizione reale: InsiemeDiDefinizione\{dov'è complessa} (Oxy\{(x*y<=-1)∪(x^2+y^2<=6)}).
Derivata direzionale: prodotto scalare fra gradiente e versore della direzione.
------------------------------
La funzione
* f(x, y) = z = ln(1 + x*y)/√(6 - x^2 - y^2)
è definita reale per
* (1 + x*y > 0) & (6 - x^2 - y^2 > 0) ≡
≡ (x*y > - 1) & (x^2 + y^2 < 6)
cioè all'interno della circonferenza, escluse le parti nella concavità dell'iperbole.
------------------------------
* ∇f(x, y) = { (x*ln(1 + x*y) + y*(6 - x^2 - y^2)/(1 + x*y))/(6 - x^2 - y^2)^(3/2),
(y*ln(1 + x*y) + x*(6 - x^2 - y^2)/(1 + x*y))/(6 - x^2 - y^2)^(3/2) }
---------------
* ∇f(1, 2) = { (1*ln(1 + 1*2) + 2*(6 - 1^2 - 2^2)/(1 + 1*2))/(6 - 1^2 - 2^2)^(3/2),
(2*ln(1 + 1*2) + 1*(6 - 1^2 - 2^2)/(1 + 1*2))/(6 - 1^2 - 2^2)^(3/2) } =
= (2/3 + ln(3), 1/3 + 2*ln(3))
---------------
* v = u/|u| = (- 1, 1)/|(- 1, 1)| = (- 1/√2, 1/√2)
---------------
* v.∇f(1, 2) = (- 1/√2, 1/√2).(2/3 + ln(3), 1/3 + 2*ln(3)) =
= (1/3 + 2*ln(3))/√2 - (2/3 + ln(3))/√2 =
= (ln(3) - 1/3)/√2 ~= 0.5411