[Risolto] dominio della funzione

Per trovare il dominio di una funzione occorre porre il denominatore diverso da $0$, questo serve poiché una frazione con denominatore uguale a $0$ sarebbe impossibile. Quindi si proceda in tale modo:

$x^3+4x^2-2x-8≠0$
$x^2(x+4)-2(x+4)≠0$
$(x+4)(x^2-2)≠0$ (raccoglimento)

Si ponga:

$x+4≠0—>x≠-4$
x^2-2≠0—>x^2≠2—>x≠±√2
infine:

[(x≠-4 Λ x≠√2 Λ x≠-√2)]

Trova gli zeri del denominatore, che non si deve annullare.

Per quali valori di x si annulla?

raccogliamo a fattor comune a due a due:

x^3 + 4x^2 - 2x - 8 = 

= x^2(x + 4) - 2(x + 4);

(x + 4) (x^2 - 2) = 0;

Si annulla per x + 4 = 0;  x1 = - 4;

x^2 - 2 = 0 ;

x^2 = 2;

x = +- radicequadrata(2).

Deve essere x diverso da - 4;

x diverso da  + radice(2);

x diverso da  - radice(2).

Ciao @amanda003

Preferisco parlare di C.E.

y = (2·x - 1)/(x^3 + 4·x^2 - 2·x - 8)

Non definita per valori di x che rendono il denominatore nullo.

Quindi scomponiamo in fattori il denominatore:

x^2·(x + 4) - 2·(x + 4) (raccoglimento a fattori comuni)

(x + 4)·(x^2 - 2) (differenza di due quadrati)

(x + 4)·((x + √2)·(x - √2)) ≠ 0

Quindi C.E.  x ≠ - √2 ∧ x ≠ √2 ∧ x ≠ -4

Ma se è pari pari come quell'altra!
* f(x) = y = (2*x - 1)/(x^3 + 4*x^2 - 2*x - 4)
solo che qui gli zeri del denominatore (i valori che, esclusi dal dominio, danno l'insieme di definizione) sono irrazionali ed hanno espressioni complicate (Tartaglia-Cardano).
Per semplificare la scrittura scelgo di porre
* u = arctg((3*√237)/23)/3 ~= 21° 10' 32''
* s = sin(u) ~= 0.36
* c = cos(u) ~= 0.93
da cui
* x^3 + 4*x^2 - 2*x - 4 = 0 ≡
≡ X1 = - 2*(2 + (√22)*c)/3 ~= - 4.249
oppure
≡ X2 = (- 4 - (√66)*s + (√22)*c)/3 ~= - 0.854
oppure
≡ X3 = (- 4 + (√66)*s + (√22)*c)/3 ~= 1.103