[Risolto] Dominio

Prima cosa: una frazione ha senso se e solo se il denominatore non è nullo. Perché questo? Perché la frazione è una sorta di torta a spicchi, il numeratore dice quanti spicchi ci sono, il denominatore è la torta stessa, non posso prendere 2 spicchi di nulla! Il denominatore non può mai essere zero!

Fatta questa premessa, si pone il denominatore diverso da 0.

$\sqrt[2]{X+5}$ - 4 $\not=$ 0

Infine essendo una radice pari, questa non ha senso se il suo contenuta è un numero negativo, infatti la radice è il 'contrario' dell'esponente e nessun numero elevato a una potenza pari può dare un numero negativo.

Detto ciò, poniamo il radicando maggiore e uguale a 0.

X + 5 $\ge$ 0

1) $\sqrt[2]{X+5}$ - 4 $\not=$ 0

$\sqrt[2]{X+5}$  $\not=$ 4

X+5 $\not=$ 4^2

X $\not=$ 16-5

X $\not=$ 11

2) X+5 $\ge$ 0

X $\ge$ -5

Insieme di definizione in R della radice di indice pari 

x>= - 5

Denominatore non nullo

Radice (x+5)-4 ≠0

Radice (x+5)≠4

(x+5)≠16

x≠11

Quindi l'insieme di definizione è {x>= - 5 e x≠11}

Allora per il calcolo del dominio della funzione riportata al n.171 procediamo come segue:

La funzione è irrazionale fratta con un radicando al denominatore.

La prima cosa da considerare è che l'argomento del radicando deve essere >=0.

Pertanto avremo:

x+5>=0

×>= -5 

Inoltre affinché la frazione abbia senso il denominatore deve essere ≠ 0 (diverso da 0)

Rad(x+5)-4 ≠ 0

Rad(x+5) ≠ 4

Elevando al quadrato ambo I membri avremo:

x+5 ≠ 16

× ≠16-5

× ≠ 11

Quindi in definitiva il dominio della funzione è

Qualunque x appartenente a R (campo dei numeri reali) tale che x >= -5 e x ≠ 11.

RIPASSO
Il dominio di una funzione è (per definizione, su qualsiasi testo di algebra) il prodotto cartesiano degl'insiemi su cui prendono valore le variabili indipendenti; analogamente si calcola il codominio con le variabili dipendenti.
ESEMPIO: la divisione euclidea fra numeri ha
* variabili indipendenti il dividendo n ∈ Z (intero) e il divisore d ∈ N (naturale)
* variabili dipendenti il quoziente q ∈ Z (intero) e il resto r ∈ N0 (cardinale)
* la proprietà di essere funzione in quanto (q, r) è unico dato (n, d)
* dominio Z × N
* codominio Z × N0
------------------------------
ESERCIZIO
La funzione
171) y = 2*x/(√(x + 5) - 4)
ha la sola variabile indipendente x che, in assenza di indicazioni, si deve intendere reale; quindi ha
* dominio: l'intero asse reale (x ∈ R);
* codominio: l'intero piano di Argand-Gauss (y ∈ C: x può essere < - 5);
* insieme di definizione: R\{11} (x = 11 azzera il denominatore);
* insieme di definizione reale: (x >= 5) & (x != 11).