[Risolto] Dominio

Il dominio della funzione
* y = f(x) = √((2*cos(x) + 1)/tan(x))
dipende dall'insieme numerico su cui è definita la variabile indipendente.
* Se x è una variabile naturale allora il dominio è l'insieme N.
* Se x è una variabile cardinale allora il dominio è l'insieme N0.
* Se x è una variabile intera allora il dominio è l'insieme Z.
* Se x è una variabile razionale allora il dominio è l'insieme Q.
* Se x è una variabile reale allora il dominio è l'insieme R.
* Se x è una variabile complessa allora il dominio è l'insieme C.
* Se x è una variabile quaternione ... e così via.
Nell'ipotesi che x sia una variabile reale vale quanto segue.
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A) dominio: l'intero asse reale.
B) codominio: l'intero piano di Argand-Gauss.
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C) insieme di definizione
f(x) è indefinita per i soli valori di x multipli interi di π, che annullano il denominatore del radicando, in quanto coseno, tangente, radice quadrata e operazioni razionali sono definite ovunque.
L'insieme di definizione, essendo ciò che resta del dominio escludendone i valori di non definizione, vale
* R\{k*π, k in Z}
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D) insieme di definizione reale
L'insieme di definizione reale è ciò che resta dell'insieme di definizione escludendone i valori di x per i quali il radicando sia negativo e quindi la radice quadrata abbia valore immaginario; avendo già escluso sub C gli zeri della tangente tali valori sono la soluzione di
* (2*cos(x) + 1)*tan(x) = 2*sin(x) + tan(x) < 0 ≡
≡ ((2*k*π - π < x < 2*k*π - 2*π/3) oppure (2*k*π - π/2 < x < 2*k*π) oppure (2*k*π + π/2 < x < 2*k*π + 2*π/3)) & (k in Z)
Pertanto l'insieme di definizione risulta
* ((2*k*π < x <= 2*k*π + π/2) oppure (2*k*π - 2*π/3 <= x <= 2*k*π - π/2) oppure (2*k*π + 2*π/3 <= x < 2*k*π + π)) & (k in Z)