dominio

Un solo esercizio per domanda, è il regolamento. Visto che hai già riproposto il 48, affronterò il 50.

a. Dominio

Dalle proprietà della funzione arcoseno segue che l'argomento deve soddisfare le seguenti disequazioni

$ -1 \le \frac{2^x}{2^{x+1}-1} \le 1 $

Mettiamo a sistema le due disequazioni

$ \begin{cases}  \frac{2^x}{2^{x+1}-1} \le 1 \\ -1 \le \frac{2^x}{2^{x+1}-1} \end{cases} $

1. dalla prima disequazione otteniamo la soluzione x < -1  V  x ≥ 0
2. dalla seconda disequazione otteniamo la soluzione x ≤ -log₂(3)   V  x > -1

poniamole in una griglia per operare l'intersezione

______-log₂(3)________-1________0_________
++++++++++++++++)                [+++++++   1° disequazione
+++++++]                     (++++++++++++++   2° disequazione

+++++++]                                     [+++++++    Soluzione del sistema 

La soluzione del sistema è   x ≤ log₂(3)    V    x ≥ 0

in fondo pagine trovi la soluzione della 1° disequazione, la seconda? lascio a te il compito di risolverla

b. Segno 

$y(x) ≥ 0$
$arcsin \frac{2^x}{2^{x+1}-1} ≥ 0 $
$\frac{2^x}{2^{x+1}-1} ≥ 0 $

Essendo 2ˣ > 0 per ogni valore di x reale la disequazione sarà vera se

$ 2^{x+1}-1 > 0 $
$ 2\cdot2^x > 1$
$ 2^x > \frac{1}{2}$
$ x > -1$

Preso in considerazione il Dominio si ha

$ x ≥ 0 $

c. Una disequazione. 

$ \frac{2^x}{2^{x+1}-1} \le 1 $
$ \frac{2^x}{2^{x+1}-1} -1 \le 0 $
$ \frac{-2^x+1}{2^{x+1}-1} \le 0 $
solita griglia

_______-1_________0_______
++++++++++++++0----------   -2ˣ+1
----------X++++++++++++++   2ˣ⁺¹-1

----------X+++++++0-----------    disequazione

vera per  x < -1  V  x ≥ 0