Domanda sulla fuzione marginale e la derivata

1. Se siamo in ℝ (continuo) possiamo definire la derivata come 

Il limite del rapporto incrementale se esiste ed è finito.

Nelle normali applicazioni capita spesso a avere a che fare in ambienti discreti (es. processi rappresentati da tabelle excell). In tali ambienti è sicuramente possibile parlare di rapporto incrementale ma determinarne il limite non ha senso. La cosa più vicina al concetto di derivata è così 

2. Se siamo nel discreto (es. ℕ) la cosa più vicina a rappresentare la variazione della domanda è il rapporto incrementale riferito ad una singola unità. Cioè la differenza di prezzo della singola unità tra due tempi

$p_{t_{n+1}} - p_{t_n} $

Il tuo ragionamento è sostanzialmente corretto e tocca un punto fondamentale della matematica applicata all'economia e alla contabilità.
Ecco una spiegazione semplice, divisa per passaggi, per capire meglio la relazione tra questi concetti.

La Funzione Marginale nel "Discreto"
Nel mondo reale, spesso non possiamo vendere mezza unità di un prodotto o cambiare il prezzo di un millesimo di centesimo. In questo contesto (chiamato discreto), la funzione marginale rappresenta esattamente ciò che hai detto:
Marginale= f(x+1) - f(x)
Ovvero: di quanto varia la domanda se aumento il prezzo di esattamente 1 unità?

La Derivata nel "Continuo"
In matematica, quando usiamo le funzioni continue, ipotizziamo di poter fare variazioni piccolissime, quasi invisibili (infinitesime). La derivata misura la pendenza della funzione in un punto esatto.
La formula della derivata (limite del rapporto incrementale) è:
f'(x)= [f(x+Δx)-f(x)]/Δx
In questo caso, la variazione del prezzo (Δx) non è 1, ma tende a 0.

Perché spesso si dice che sono la stessa cosa?
Si legge ovunque che la funzione marginale "è" la derivata perché, in economia, la derivata viene usata come un'approssimazione molto precisa della variazione unitaria.
Se la funzione è "liscia" (continua), la differenza tra la variazione per un'intera unità e la variazione infinitesima è minima. Usare la derivata è molto più comodo per fare calcoli complessi e ottimizzazioni.

Riprendiamo i tuoi punti:
"La funzione marginale è la variazione per 1 unità": CORRETTO. È la definizione economica classica.
"La derivata è la variazione infinitesima": CORRETTO. È la definizione matematica.
"Se sei nel discreto, la derivata rappresenta la variazione di 1 unità": QUASI CORRETTO. Tecnicamente, nel discreto non esiste la "derivata" (che richiede il limite), ma si usa il concetto di differenza finita. Tuttavia, concettualmente il senso è quello: la derivata "economica" viene calcolata ponendo l'incremento pari a 1.

Approccio Economico (Pratico): Marginale = Variazione per +1 unità.
Approccio Matematico (Teorico): Marginale = Derivata (variazione istantanea).
In economia si usa la derivata per "simulare" quello che accadrebbe con un'unità in più, perché è matematicamente più potente e facile da gestire nelle formule.

Esempio
Se la funzione di domanda è D(p), allora:
Variazione reale: D(p+1)-D(p)
Variazione calcolata con la derivata: D'(p)
I due valori saranno molto vicini, ma non identici (a meno che la funzione non sia una retta)

Il dubbio che hai riguarda la differenza tra elasticità puntuale (con la derivata) ed elasticità arcuale (o "manuale").

Analizziamo la tua funzione e il tuo ragionamento.

Hai una funzione di domanda lineare: d =−0,5p+ 1/2

La derivata prima di questa funzione rispetto a p è:d′=f′(p)=−0,5

Questo numero (−0,5) è il coefficiente angolare della retta.

Significato matematico: Se il prezzo aumenta di una quantità infinitesima (dp), la domanda diminuisce di 0,5 unità.

Significato economico "approssimato": Se il prezzo aumenta di 1 unità intera (Δp=1), la domanda diminuisce di circa 0,5 unità (in questo caso specifico, essendo una retta, è esattamente 0,5).

L'Elasticità: perché non basta la derivata?La derivata da sola non basta per capire l'elasticità. L'elasticità è un rapporto tra variazioni percentuali.

La formula classica è:ϵ=Variazione % della Domanda/Variazione % del Prezzo
Che si traduce in:ϵ=(Δd/d)/(Δp/)p = (Δd/Δp)x(p/d)

Caso A: Elasticità "Manuale" (Arcuale)
Se tu hai due punti specifici, ad esempio:

Punto A: p(1)=10, d(1)=−0,5x(10)+0,5=−5+0,5=−4,5
(occhio: una domanda negativa qui è solo un esercizio numerico, ok)

Punto B:
p(2)=12, d(2)=−6+0,5=−5,5

Allora:
Variazione prezzo: Δp=2 Variazione domanda: Δd=−1

Se calcoli l'elasticità "manuale" (spesso si usa il metodo del punto medio per l'arcuale, ma se fai la variazione classica sul punto iniziale), ottieni:

ϵ(manuale)= [Δd(1)/Δp(1)]x[p(1)/d(1)]= -1/2 x(10/-4,5)=−0,5⋅(−2,222...)=1,111

Caso B: Elasticità con la Derivata (Puntuale)
La formula con la derivata è identica, ma al posto di Δp/Δd usiamo ∂p/∂d (la derivata prima), che è costante e vale −0,5.

Nel punto A (p=10,d=−4,5):

ϵ(puntuale)=f′(p)x(p/d)⋅=−0,5x(10/-4,5)=−0,5⋅x(−2,222...)=1,111

Nel tuo esempio specifico, hai ottenuto lo stesso risultato! 
Perché la tua funzione è una retta. In una retta, il rapporto Δp/Δd
​(calcolato manualmente) è costante ed è esattamente uguale alla derivata f′(p).

Ma attenzione: Questo accade solo perché la funzione è lineare!

Se la funzione fosse, ad esempio, d=100/p (una curva di domanda classica), allora:

La derivata f'(p) sarebbe −100/(p)^2.

Il rapporto manuale Δp/Δd
​cambia a seconda dell'ampiezza dell'intervallo che consideri.

In quel caso:

L'elasticità manuale ti dice cosa è successo in media tra il punto A e il punto B (variazione finita).

L'elasticità con la derivata ti dice cosa succede esattamente nel punto A (variazione istantanea).

In pratica
Se hai una funzione (come nel tuo esempio) e vuoi sapere l'elasticità in un punto preciso, devi usare la derivata (elasticità puntuale). È la formula standard in economia per l'analisi marginale.

Se invece hai solo dati grezzi (es. prezzi e vendite dell'anno scorso e di quest'anno) e non conosci la funzione, usi la formula manuale (elasticità arcuale) per avere un'approssimazione della reattività della domanda tra quei due punti specifici.

Nel tuo caso con la retta, i due metodi coincidono perché stai applicando la formula giusta (quella con la derivata) a una funzione lineare