Domanda su onde armoniche

Ti lascio scritta a mano più sotto la dimostrazione per l'interferenza costruttiva. In generale, l'idea è che prendi due onde di uguale ampiezza $A$ e lunghezza d'onda $\lambda$ (per semplicità), una con origine $S_1$ e l'altra con origine $S_2$ e consideri un punto $P$ che sta genericamente fra le due origini.

In quel punto $P$, sommando le due onde e applicando prostaferesi, ottieni un'onda risultante che vale

$$y(x_P) = 2A\cos\big(\frac{\pi}{\lambda}(x_{S_1} + x_{S_2}\big)+ \frac{\phi_1+\phi_2}{2}\big)\cos\big(\frac{\pi}{\lambda}\Delta x + \frac{\Delta\phi}{2}\big),$$

dove $ 2A\cos\big(\frac{\pi}{\lambda}(x_{S_1}+ x_{S_2})+ \frac{\phi_1+\phi_2}{2}\big)$ non dipende dalla posizione (variabile) del punto $P$, quindi la puoi considerare la nuova ampiezza $A'$ dell'onda risultante. Infatti $x_{S_1} + x_{S_2}$ è semplicemente la distanza (fissa) fra le due sorgenti, non è una variabile del problema. Quindi quell'espressione è semplicemente un numero che non cambia a seconda di dove si trova $P$, a differenza di $\Delta x$ che rappresenta la differenza fra la distanza che l'onda $1$ ha percorso per arrivare a $P$ e la distanza che ha percorso l'onda $2$. Quest'ultima è diversa a seconda di dove prendi $P$, mentre $x_{S_1} + x_{S_2}$ non cambia.

A questo punto ti prendi la tua nuova funzione e ti vai a guardare dove è massima (quindi ho interferenza costruttiva) e dove è minima (e quindi ho interferenza distruttiva). Rispettivamente succede quando il coseno vale $+1$ o $-1$

$$y(x_P) = A'\cos\big(\frac{\pi}{\lambda}\Delta x + \frac{\Delta\phi}{2}\big)$$

Se le onde in origine erano in fase $\phi_1 = \phi_2 \implies \Delta\phi = 0$, la funzione ha un (uno dei tanti) massimi se $\Delta x = 0$, cioè nel punto in cui le due onde hanno percorso la stessa strada, ovvero l'onda risultante ha ampiezza massima nel punto a metà fra le sorgenti. Per interferenza distruttiva dovresti guardare quando il coseno vale $-1$.