Domanda su integrale definito in fisica

E' equivalente ad un integrale per sostituzione 

dx/dt = v(t)

dx = v(t) dt 

S_[xo, x1] dx = S_[t0, t1] v(t) dt 

Tutte e tre le risposte sono corrette anche se le tre interpretazioni fornite non corrispondono a quella del prof. Ne aggiungo una quarta sperando che si avvicini.

$ v(t) ≝ \frac{dx}{dt} $ E' la definizione di velocità istantanea.

$ v(t) d(t) = dx $       E' la forma differenziale della definizione precedente. 

Se vogliamo conoscere la lunghezza del percorso compiuto da una particella su una semiretta nel periodo di tempo che va da t₀ a t₁ è sufficiente integrare

$ \int_{t_0}^{t_1} v(t) d(t) = x_1 - x_0 $

dove i punti x₀, x₁ sono o punti della semiretta quando la particella si trovava, rispettivamente, nel tempo t₀ e in t₁.

Osserviamo che nella semiretta vale l'identità $ x_1 - x_0 = \int _{x_0}^{x_1} dx $

per cui

$ \int_{t_0}^{t_1} v(t) d(t) = \int _{x_0}^{x_1} dx $

Questa formulazione permetterà di generalizzare il secondo membro in curve che non sono solo rette. Questa operazione richiede la teoria dell'integrazione curvilinee