[Risolto] Domanda funzione

I miei simboli/operatori sono un po' diversi dai tuoi.
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* equivalenza ≡ "≡"
* intersezione ≡ "&"
* unione ≡ "oppure"
* moltiplicazione ≡ "*"
* radice quadrata ≡ "√()"
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La mia terminologia è MOLTO diversa dalla tua.
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La funzione
* y = f(x)
ha
* dominio: l'insieme numerico in cui varia la variabile "x" (i reali R, in assenza di specifiche)
* codominio: l'insieme numerico in cui variano i valori di "f"
* insieme di definizione: ciò che resta del dominio sottratti i valori di "x" dove "f" è indefinita
* insieme di definizione reale: ciò che resta dell'insieme di definizione sottratti i valori di "x" dove "f" assume valori non reali
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La funzione
* y = f(x) = √(sin(2*x) - cos(x)) - √(2*x)
ha
* dominio: l'intero asse reale x.
* codominio: l'intero piano di Argand-Gauss
* insieme di definizione: l'intero asse reale x (seno, coseno, radice quadrata sono definite ovunque).
* insieme di definizione reale: ciò che resta dell'asse reale sottratti i valori di "x" dove "f" assume valori non reali.
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Seno e coseno hanno valore reale in [- 1, 1] ovunque, e così la loro differenza.
La radice quadrata di valori reali non negativi è reale.
La radice quadrata di valori reali negativi è immaginaria.
Quindi
* y = f(x) = √(sin(2*x) - cos(x)) - √(2*x)
ha valore
* immaginario per (sin(2*x) - cos(x) < 0) & (2*x < 0).
* complesso se un radicando è negativo e l'altro no.
* reale per (sin(2*x) - cos(x) >= 0) & (2*x >= 0) ≡
≡ (2*sin(x)*cos(x) >= cos(x)) & (x > 0) oppure (2*sin(x)*cos(x) >= cos(x)) & (x = 0) ≡
≡ (2*sin(x)*cos(x) >= cos(x)) & (x > 0) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ (2*sin(x)*cos(x) >= cos(x)) & (x > 0) ≡
≡ a meno di "+ 2*π*n" con n >= 0 su entrambi gli estremi dei tre intervalli ≡
≡ (π/6 <= x <= π/2) oppure (5*π/6 <= x < π) oppure (π < x <= 3*π/2)

@paul

Ciao e benvenuto.

y = √(SIN(2·x) - COS(x)) - √(2·x)

In merito alla tua domanda:

Ora con le soluzioni di queste devo fare un grafico in cui le interseco (∧) o le unisco (∨)? (occhio a come scrivi unione ed intersezione.)

Arrivi a scrivere:

{SIN(2·x) - COS(x) ≥ 0

{2·x ≥ 0 (non mi sembra che tu l'abbia considerata)------>x ≥ 0

quindi:

2·SIN(x)·COS(x) - COS(x) ≥ 0

COS(x)·(2·SIN(x) - 1) ≥ 0

Quindi devi studiare il segno del prodotto di due fattori! Quindi , a mio giudizio non è proprio come dici tu in quanto un prodotto non negativo, come questo, non è unicamente determinato dalla non negatività di ognuno dei due fattori, ma anche dalla non positività di ognuno di essi. (tenendo anche conto della non negatività della x)

 

 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D+sqrt%28sin2x-+cosx%29+-sqrt%282x%29

 

... guarda "domain"

 

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intanto 2*x≥ 0   ---> implica x ≥ 0  {che porta a n≥ 0  nel primo link}

 

da intersecare ( quindi ∧  )  con il dominio di (sin2x- cosx) ≥ 0 ....

 

dove va tenuto presente  quel che dice LucianoP

Quindi , a mio giudizio non è proprio come dici tu in quanto un prodotto non negativo, come questo, non è unicamente determinato dalla non negatività di ognuno dei due fattori, ma anche dalla non positività di ognuno di essi.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sin2x-+cosx%29+%E2%89%A5+0

... quest'ultimo, come vedi , è l'unione U di più insiemi ...

 

 

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va notato che ...

 

 l' "ambiguo" sen2x  {poteva  , ... anzi "doveva", leggersi   sen2  * x = x* sen2} è stato "interpretato"  come sen(2x) ...

 

e... ovviamente (v. teoria degli insiemi  e logica  ... diagrammi di Eulero-Venn) 

 and {& , · o nulla} equivale a intersezione 

 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=and+gate

e

 

or{+} equivale ad unione

 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=or+gate

 

y(x) = √(sin2x- cosx) - √(2x)

Dominio.

• √(2x) ⇒ x≥0
• √(sin2x- cosx) ⇒ cosx(2sinx-1)≥0 ⇒

⇒ cosx≥0 & (2sinx-1)≥0 V cosx≤0 & (2sinx-1)≤0

Usiamo la griglia dei segni essendo più immediato. 

0...π/6....π/2....5π/6....π.....3π/2.....2π

+++++++0-------------------------0++++++ cosx

------0+++++++++0-------------------------- (2sinx-1)

------0+++0---------0++++++++0--------- cosx(2sinx-1)

quindi nell'intervallo [0,2π) è verificata in

[π/6,π/2] V [5π/6,3π/2]

Considerando la periodicità e il fatto che interessano solo le soluzioni positive, avremo

π/6+2kπ ≤x≤ π/2+2kπ V 5π/6+2kπ ≤x≤ 3π/2+2kπ  

con k numero naturale (relativo positivo).

 

 

 

"Ora con le soluzioni di queste devo fare un grafico in cui le interseco (V) o le unisco (U)?"

Ho usato il simbolo V per indicare l'unione.

La griglia dei segni opera automaticamente l'intersezione. (regola dei segni).