Volevo chiedere come mai il procedimento (meccanico) della divisione tra polinomi fosse proprio quello? Quale è la logica che si cela dietro?
Volevo chiedere come mai il procedimento (meccanico) della divisione tra polinomi fosse proprio quello? Quale è la logica che si cela dietro?
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Livello 2
La risposta è nella struttura algebrica nella quale vivono i polinomi a coefficienti reali (in generale qualsiasi campo va bene), ossia quella di anello.
Partendo da enti noti, l’insieme degli interi $\mathbb{Z}$ è un anello perché è chiuso rispetto a somma e prodotto (puoi moltiplicare/sommare ogni elemento di $\mathbb{Z}$ con un altro elemento di $\mathbb{Z}$ senza uscire dall'insieme), ha elemento neutro per la somma (0), ha elemento neutro per il prodotto (1) e vale la distributività.
È noto che in $\mathbb{Z}$ è possibile avere la divisione intera:
$a = bq + r \quad \text{con } 0 \le r < |b|$
Quindi ha senso parlare di divisibilità tra interi.
Non lo verifico, ma anche i polinomi a coefficienti in un campo (ad esempio $\mathbb{R}$ o $\mathbb{Q}$) formano un anello $\mathbb{K}[x]$, ove $\mathbb{K}$ è un campo (es: $\mathbb{R}, \mathbb{Q}, \mathbb{C}$).
Dunque, i polinomi sono molto simili agli interi nel loro comportamento dettato dalla struttura di anello.
Per il teorema del resto vale che per ogni polinomio $f(x)$ e $g(x) \neq 0$ esistono $q(x)$ e $r(x)$ tali che $f(x)=g(x)q(x)+r(x)$, con $\deg r < \deg g$.
Ciò è l'analogo della divisione intera in $\mathbb{Z}$, quindi valgono le stesse regole della divisione in colonna tra numeri interi.
In realtà dovrei introdurre anche i domini a fattorizzazione unica, ma la risposta diventerebbe troppo tecnica. Puoi però verificare che per $\mathbb{Z}[x]$, dato che $\mathbb{Z}$ non è un campo, non è sempre possibile la divisione rimanendo nella struttura.
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Livello 6
Per degli esercizi riguardanti ciò puoi svolgere il Jolly (anelli) di questa verifica sui polinomi: https://www.sosmatematica.it/forum/domande/verifichina-2-polinomi-equazioni-di-primo-grado-e-sistemi-lineari/ (vedi prima la nota dell'esercizio II.1)
E il Jolly (teorema del resto e teorema di Ruffini, la barra $\mid$ si legge "divide" ) di questa verifica sulle scomposizioni: https://www.sosmatematica.it/forum/domande/verifichina-3-scomposizioni-equazioni-di-secondo-grado-e-disequazioni/
(Non farti spaventare dalla richiesta, la dimostrazione è lunga due righe)
@rebc Grazie mille RebC! Però mi chiedevo perché il procedimento fosse proprio quello nella divisione dei polinomi!
@fede-uwu2 intendi il perché si prende il resto della prima sottrazione e si continua?
Se è ciò, considera due numeri $a$ e $b$, allora $a=bq+r$, se $r=0$, vale che $b \mid a$ dato che si avrebbe $\frac{a}{b}=q$.
Supponendo che $r \neq 0$, si ha che $r=bq_1+r_1$, quindi $a=(q+q_1)b+r_1$, continuando si ottiene $a=b(q +\sum_{i=1}^nq_i)+r_n$, ove $r_n$ può essere nullo o irriducibile. (Ciò può essere fatto $n$ volte solo se esistono abbastanza $q_i$ per cui vale quanto detto riguardo al resto, infatti la divisione prima o poi termina)
Il fatto che il sistema numerico sia posizionale permette anche delle proprietà interessanti che rendono l'algoritmo più comodo, una di queste è considerare solo le prime cifre di un dato numero.
Per quanto detto prima puoi considerare tutte le variabili utilizzate come polinomi.
@rebc Grazie mille RebC 🫶
Fai un esempio:
Quale è la logica che si cela dietro?
Per rispondere alla domanda bisogna fare un parallelo con la divisione fra due numeri naturali.
Quindi la prima cosa che ti devi chiedere è lo scopo : conoscere il quoziente ed il resto della divisione, in modo tale che la verifica del risultato coincide con il fare la somma del prodotto fra quoziente ed il divisore ed il resto della divisione per riottenere il dividendo. Qui fai lo stesso. Procedendo con ordine ottieni resti parziali fino ad ottenere il resto finale che non si può ulteriormente dividere:
3247/124 = 26 +23/124
Q=26 ; R=23
Verifica: 26·124 + 23 = 3247
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Genius III
@lucianop Grazie, io mi chiedevo come mai il procedimento fosse proprio quello (dividere i termini con grado maggiore etc..)
@fede_uwu.2
Se ci pensi bene anche ogni numero naturale si può scrivere in forma polinomiale:
3·10^3 + 2·10^2 + 4·10 + 7 = 3247
@lucianop Si ma scusi intendevo perché si fanno proprio quei procedimenti macchinosi?
Non sono macchinosi....