[Risolto] Divisione tra polinomi

La divisione fra polinomi è, come quella fra numeri interi, la "divisione euclidea" che a partire da due operandi dividendo N e divisore D produce univocamente due risultati: quoziente Q e resto R != 0 oppure quoto Q e resto R = 0.
La procedura operativa è per successive aggiunte a Q di un monomio per passo fino a ottenere la soluzione che verifichi il sistema che definisce la divisione euclidea
* (N = Q*D + R) & (0 <= grado(R) < grado(D))
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Azione preliminare
Ordinare dividendo N(a) e divisore D(a) rispetto alla variabile "a" di riferimento ed eventualmente completare N(a) con coefficienti nulli in modo che presenti tutte le potenze di "a".
* N(a) = b*a^4 - (b^2)*a^3 + 0*a^2 + 1*a^1 + b*a^0
* D(a) = a^2 + b
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Procedura
1a) Porre N(a) come resto parziale di ordine zero: R[0] = N(a).
1b) Porre Q = 0.
2) Fintanto che grado(R) >= grado(D) ripetere le seguenti azioni
2a) Aggiungere a Q il monomio q rapporto fra i più significativi di R e D: Q := Q + q.
2b) Sostituire all'attuale R la differenza ottenuta sottraendogli q*D: R := R - q*D.
3) Terminare con gli attuali valori (Q, R).
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Applicazione
1a1) Porre R[0] = b*a^4 - (b^2)*a^3 + 0*a^2 + 1*a^1 + b*a^0
1a2) Porre D(a) = a^2 + b (grado(D) = 2)
1b) Porre Q = 0
2) grado(R) = 4 > 2
2a) Porre Q = 0 + b*a^4/a^2 = b*a^2
2b) Porre R[1] = R[0] - q*D =
= b*a^4 - (b^2)*a^3 + 0*a^2 + 1*a^1 + b*a^0 - (b*a^2)*(a^2 + b) =
= - (b^2)*a^3 - (b^2)*a^2 + a + b
2) grado(R) = 3 > 2
2a) Porre Q = b*a^2 + (- (b^2)*a^3)/a^2 = b*a^2 - (b^2)*a
2b) Porre R[2] = R[1] - q*D =
= - (b^2)*a^3 - (b^2)*a^2 + a + b - (- (b^2)*a)*(a^2 + b) =
= - (b^2)*a^2 + (b^3 + 1)*a + b
2) grado(R) = 2 = 2
2a) Porre Q = b*a^2 - (b^2)*a + (- (b^2)*a^2)/a^2 = b*a^2 - (b^2)*a - b^2
2b) Porre R[3] = R[2] - q*D =
= - (b^2)*a^2 + (b^3 + 1)*a + b - (- b^2)*(a^2 + b) =
= (b^3 + 1)*a + (b^2 + 1)*b
2) grado(R) = 1 < 2
3) Terminare con gli attuali valori (Q, R).
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RISULTATO
* quoziente Q = b*a^2 - (b^2)*a - b^2
* resto R = (b^3 + 1)*a + (b^2 + 1)*b != 0
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CONTROPROVA nel paragrafo "Result" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=polynomialQuotientRemainder%5Bb*a%5E4-%28b%5E2%29*a%5E3%2Ba%2Bb%2Ca%5E2%2Bb%2Ca%5D

b a^4 - b^2 a^3 + 0 a^2 + a + b || a^2 + b
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-ba^4                   - b^2 a^2           b a^2 - b^2 a - b^2
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          - b^2 a^3 - b^2 a^2 + a + b
         + b^2 a^3               + b^3 a
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                         - b^2 a^2 + (1+b^3) a + b
                        + b^2 a^2 + b^3
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                                           (1 + b^3) a + b + b^3