Considera la funzione $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}k x e^{-2 x^2} & x \geq 0 \\ 0 & x<0\end{array}\right.$. Determina $k$ in modo che sia la densità di una variabile aleatoria continua $X$. Calcola quindi, se esiste, il valore di $a$, con $a>0$, per cui $p(X>a)=p(X \leq a)$.
Spiegare gentilmente i ragionamenti e argomentare.
11881
punti
Livello 2
@alby Ciao, per cortesia, dovresti ripostare l'immagine, perché risulta tagliata proprio a livello dell'esponente e quindi non è chiaro quale sia la sua espressione.
Ecco grego, grazie infinite sempre della tua disponibilità.
f(x,k) = k·x·e^(- 2·x^2) per x ≥ 0
∫(k·x·e^(- 2·x^2)) dx = - k·e^(- 2·x^2)/4
che va da x=0 ad x----->+∞
LIM(- k·e^(- 2·x^2)/4) =0
x---> +∞
- k·e^(- 2·0^2)/4= - k/4
Quindi deve essere:
0 - (- k/4) = 1----> k/4 = 1----> k = 4
- 4·e^(- 2·x^2)/4 = - e^(- 2·x^2)
da x = 0 ad x → +∞
LIM(- e^(- 2·x^2)) =0
x---> +∞
- e^(- 2·0^2) = -1
verifica: 0 - -1 = 1
∫(4·x·e^(- 2·x^2)dx = - e^(- 2·x^2)
da x = a ad x → +∞
LIM(- e^(- 2·x^2))=0
x---> +∞
- e^(- 2·a^2) per x=a
0 - (- e^(- 2·a^2)) = e^(- 2·a^2)
da x=0 ad x=a:
- e^(- 2·a^2)
- e^(- 2·0^2) = -1
e^(- 2·a^2) = - e^(- 2·a^2) + 1
Risolvo ed ottengo: a = √2·√(LN(2))/2
x = √2·√(LN(2))/2
divide in due parti uguali ognuna ad 1/2 la distribuzione continua.
Area giallla = area verde
115500
punti
Genius III
k S_[0,+oo] (-4x e^(-2x^2))/(-4) dx = 1
k/4 [e^(-2x^2)]_[+oo,0] = 1
k * (1 - lim_x->+oo e^(-2x^2) ) = 4
k = 4
Quel valore, come già visto, é la mediana
[ 1 - e^(-2a^2) ] = 1/2
e^(-2a^2) = 1/2
e^(2a^2) = 2
2a^2 = ln 2
a^2 = 1/2 ln 2
a = rad(1/2 ln 2)
58352
punti
Livello 7
@eidosm 👍👌👍
