Distanza di un punto da una retta "431"

@giorgia04

Ci sono altre strade risolutive. Una è la seguente.

{(x - α)^2 + y^2 = 1^2

{y = 3/4·x + 1/2

Cioè mettere a sistema la generica circonferenza con centro sull'asse delle x e raggio 1 con la retta stessa e trovare i punti di tangenza.

Procedo per sostituzione

(x - α)^2 + (3/4·x + 1/2)^2 = 1

(x^2 - 2·α·x + α^2) + (9·x^2/16 + 3·x/4 + 1/4) = 1

25·x^2/16 + x·(3/4 - 2·α) + α^2 - 3/4 = 0

Impongo la condizione di tangenza:

Δ = 0

che si scrive:

(3/4 - 2·α)^2 - 4·25/16·(α^2 - 3/4) = 0

(4·α^2 - 3·α + 9/16) - (25·α^2/4 - 75/16) = 0

- 9·α^2/4 - 3·α + 21/4 = 0------> 3·α^2 + 4·α - 7 = 0

risolvo ed ottengo:

α = - 7/3 ∨ α = 1

Quindi 2 punti:

A(1,0) e B(-7/3,1)

Tutti e soli i punti (quindi anche quelli dell'asse x) a distanza d > 0 dalla retta
* r ≡ y = m*x + q
sono sulla parabola degenere Γ costituita dalle due parallele della cui striscia r è l'asse
* Γ ≡ (m*x + q - y)^2 - (m^2 + 1)*d^2 = 0
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Per y = 0, l'asse x, si ha
* (m*x + q)^2 - (m^2 + 1)*d^2 = 0 ≡ x = - q/m ± d*√(1/m^2 + 1)
---------------
Con i dati del caso
* d = 1, m = 3/4, q = 1/2
si ha
* x = - (1/2)/(3/4) ± 1*√(1/(3/4)^2 + 1) =
= - 2/3 ± 5/3
da cui i punti richiesti
* P(- 7/3, 0), Q(1, 0)
che è proprio il risultato atteso.