[Risolto] Disposizioni

Per determinare quanti gruppi si possono formare assegnando il primo posto a un elemento di un insieme A con “n elementi”, il
secondo a uno di un insieme B con “m elementi”, il terzo a uno di un insieme C con “k elementi”, ecc…, occorre calcolare il seguente prodotto:

$$totale gruppi = n \cdot m \cdot k ...$$

Il diagramma ad albero è il seguente:

Contando tutte le disposizioni sono in totale 24.

Totale gruppi=$4 \cdot 6=24$

Nel calcolo combinatorio, l'oggetto di studio principale e' il modo in cui $n$ oggetti, appartenenti ad un dato insieme, possono essere raggruppati e\o ordinati secondo alcune regole. Ovviamente i raggruppamenti possono includere delle ripetizioni e non.

I modi in cui un insieme di $n$ elementi può essere raggruppato in modo che due raggruppamenti possono differire tra loro per almeno un elemento o per l'ordine, vengono chiamati $disposizioni$ $semplici$ e si indicano con $D_{ n, k }$ dove $n$ è il numero degli elementi di un insieme di partenza e $k$ è il numero scelto per formare i raggruppamenti. Ricordiamo che $n$ $\geq$ $k$.

Il numero delle disposizioni semplici è dato da :

$D_{ n , k }$ $=$ $\frac{ n! }{ ( n - k )! }$  $=$  $n$  $\cdot$  $($ $n$  $-$  $1$  $)$  $\cdot$ $. . .$  $\cdot$  $($ $n$  $-$  $k$  $+$  $1$  $)$ 

dove $n!$ e $($ $n$ $-$ $k$ $)$$!$ sono rispettivamente i fattoriali di $n$ e $n$ $-$ $1$. Dopo fatte queste premesse possiamo passare alla pratica :

Il nostro insieme di partenza è $\{$ $a$, $b$ , $c$, $d$  $\}$. Concludiamo che il numero di elementi è pari a $4$,dunque possiamo scrivere $n$ $=$ $4$. Ora il numero scelto per formare raggruppamenti è $3$, quindi $k$ $=$ $3$.  Per la formula precedente otteniamo :

$D_{ ( 4, 3 ) }$ $=$ $\frac{ 4! }{ ( 4 - 3 )! }$  $=$  $\frac{ 4! }{ 1! }$ $=$ $4!$ $=$ $4$ $\cdot$ $3$ $\cdot$ $2$ $\cdot$ $1$ $=$ $24$

Dunque un insieme di $4$ elementi può essere raggruppato in terne differendo una dall'altra per almeno un elemento o per l'ordine, in $24$ modi.

Per una maggiore comprensione il diagramma ad albero può essere davvero molto utile :

 

 

 

 

 

 

 

Ciao,

queste sono le rappresentazioni:

Le terne sono:

abc,abd,acb,acd,adb,adc

bac,bad,bca,bcd,bda,bdc

cab,cad,cba,cbd,cda,cdb

dab,dac,dba,dbc,dca,dcb

 

in totale sono 24.

 

saluti ?