disequazioni irrazionali e modulari

@angela_chen

Ciao. Al 1° membro della disequazione si ha la somma di due radici di indice pari.

Per risolvere tale disequazione basterà determinare il C.E. della funzione irrazionale rappresentata al  1° membro. Quindi si tratterà di risolvere il sistema:

{ABS(x^2 - 4) - 1 ≥ 0

{- ABS(x - 5)/(x^4 - 1) ≥ 0

Le soluzioni delle due singole disequazioni sono (a sistema)

{x ≤ - √5 ∨ - √3 ≤ x ≤ √3 ∨ x ≥ √5

{x = 5 ∨ -1 < x < 1

Quindi soluzione finale: [-1 < x < 1, x = 5]

@angela_chen ciao

La somma di due radici ad indice pari è sempre positiva dunque devi solo stabilire le condizioni di esistenza dei due radicali che sono proprio il risultato indicato.

Risolvi perciò il sistema costituto dalle seguenti disequazioni:

$|x^2-4|-1\geq 0$

$|x-5|/(1-x^4)\geq 0$

Lo hai fatto questo ?

La disequazione
* √(|x^2 - 4| - 1) + √(- |x - 5|/(x^4 - 1)) >= 0
è definita per x^4 != 1 ed equivale all'unione di due altre dis/equazioni.
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1) √(|x^2 - 4| - 1) + √(- |x - 5|/(x^4 - 1)) = 0
priva di radici reali.
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2) √(|x^2 - 4| - 1) + √(- |x - 5|/(x^4 - 1)) > 0
che, avendo una diseguaglianza d'ordine stretto, richiede che il primo membro sia reale, cioè che
* (|x^2 - 4| - 1 >= 0) & (- |x - 5|/(x^4 - 1) >= 0) ≡
≡ ((x <= - √5) oppure (- √3 <= x <= √3) oppure (x >= √5)) & ((- 1 <= x <= 1) oppure (x = 5)) ≡
≡ (x <= - √5) & (- 1 <= x <= 1) oppure (- √3 <= x <= √3) & (- 1 <= x <= 1) oppure (x >= √5) & (- 1 <= x <= 1) oppure (x <= - √5) & (x = 5) oppure (- √3 <= x <= √3) & (x = 5) oppure (x >= √5) & (x = 5) ≡
≡ Ø oppure (- 1 <= x <= 1) oppure Ø oppure Ø oppure Ø oppure (x = 5) ≡
≡ (- 1 <= x <= 1) oppure (x = 5)
Una volta determinato tale insieme di definizione reale la disequazione si sdoppia
2a) √(|5^2 - 4| - 1) + √(- |5 - 5|/(5^4 - 1)) = 2*√5 > 0 ≡ VERO
2b) (√(|x^2 - 4| - 1) + √(- |x - 5|/(x^4 - 1)) > 0) & (- 1 <= x <= 1) ≡
≡ (- 1 <= x <= 1)
QUESTO E' IL RISULTATO ATTESO.
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AGGIUNTA (dopo che la notte m'ha portato consiglio e che il mattino in famiglia m'ha ... giovato in altre cose)
ho cassato le "cassate" che iersera avevo scritto a mia insaputa.