[Risolto] DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE

Oh, sì!
Si dovrebbe sempre iniziare dallo scrivere bene, senza equivoci.
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LA STITICHEZZA PARENTETICA E OPERATORIA GENERA ESPRESSIONI EQUIVOCHE.
E' UN VERO PECCATO CHE AL LICEO NON S'INSEGNINO PIU'
* L'USO CORRETTO DELLE PARENTESI (d'ogni tipo: [], {}, <>, ||)
* LA CORRETTA SINTASSI DELLE ESPRESSIONI
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La stringa di caratteri
* "coS 2 x - 3sen x + 1 < 0"
NON RAPPRESENTA UN'ESPRESSIONE PERCHE' CONSENTE PIU' INTERPRETAZIONI mentre un'espressione deve avere un significato univoco.
Mettendo al loro DOVUTO posto operatori e parentesi si ottengono due espressioni, entrambe legittime, ma tutt'altro che equivalenti.
* cos^2(x) - 3*sen(x) + 1 < 0
oppure
* cos(2*x) - 3*sen(x) + 1 < 0
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E' solo dalla verifica della non equivalenza
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28cos%5E2%28x%29-3*sen%28x%29%2B1%3C0%29%26%280%3C%3Dx%3C2*%CF%80%29for+x+real
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28cos%282*x%29-3*sen%28x%29%2B1%3C0%29%26%280%3C%3Dx%3C2*%CF%80%29for+x+real
che si può inferire l'interpretazione corretta
* cos(2*x) - 3*sen(x) + 1 < 0
per risolvere la quale (nel primo giro, a meno di k*2*π) si esprime l'espressione in una sola funzione, che poi si usa come variabile ausiliaria e che dopo la risoluzione si retrosostituisce nei risultati.
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Con
* cos(2*x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 1 - 2*sin^2(x)
* u = sin(x)
si ha
* cos(2*x) - 3*sin(x) + 1 < 0 ≡
≡ 1 - 2*sin^2(x) - 3*sin(x) + 1 < 0 ≡
≡ - sin^2(x) - (3/2)*sin(x) + 1 < 0 ≡
≡ sin^2(x) + (3/2)*sin(x) - 1 > 0 ≡
≡ u^2 + (3/2)*u - 1 > 0 ≡
≡ (u + 2)*(u - 1/2) > 0 ≡
≡ (u < - 2) oppure (u > 1/2) ≡
≡ (sin(x) < - 2) oppure (sin(x) > 1/2) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (sin(x) > 1/2) ≡
≡ sin(x) > 1/2

formule di duplicazione:

$cos2x=1-2sin^2x$