Disequazioni goniometriche

SI. Io ci riuscirei, ma sono troppe!

EX.656

Riscrivo:

(SIN(α) - TAN(α))/(SIN(α)·(TAN(α) - 1)) ≤ 0

Deve essere come C.E.:

SIN(α)·(TAN(α) - 1) ≠ 0

Quindi:  

α ≠ pi + k·pi altrimenti si annulla il 1° fattore (SIN(α))

∧

α ≠ pi/4+kpi altrimenti si annulla il 2° fattore (TAN(α) - 1)

Poi svolgendo i calcoli:

A numeratore:

SIN(α) - SIN(α)/COS(α) = (SIN(α)·COS(α) - SIN(α))/COS(α) =

=(SIN(α)·COS(α) - SIN(α))/COS(α)

A denominatore:

SIN(α)·(TAN(α) - 1) = SIN(α)^2/COS(α) - SIN(α) =

=(SIN(α)^2 - SIN(α)·COS(α))/COS(α)

Quindi posto ulteriormente:

α ≠ pi/2 + k·pi

semplificando si ottiene:

(SIN(α)·COS(α) - SIN(α))/(SIN(α)^2 - SIN(α)·COS(α))=

=(1 - COS(α))/(COS(α) - SIN(α))

quindi risolviamo:

{(1 - Χ)/(Χ - Υ) ≤ 0

{Χ^2 + Υ^2 = 1

avendo posto:

{COS(α) = Χ

{SIN(α) = Υ

e facendo riferimento alla circonferenza goniometrica. Risolviamo quindi il rapporto per via grafica ottenendo

le due regioni di figura:

Della regione 2 non c'è da prendere nulla in quanto in C si annulla il seno.

Visto il vincolo della circonferenza goniometrica quindi si deve prendere:

pi/4 + 2·k·pi < α < 5/4·pi + 2·k·pi ∧ α ≠ pi/2 + 2·k·pi ∧ α ≠ pi + 2·k·pi

per le condizioni dettate nello svolgimento.

 

 

@Sofffff

Svolgo la 652)

 

La soluzione è quindi, essendo tan(x) funzione periodica di periodo pi:

 

(pi/6) + k*pi < x < (5/6)pi + k*pi

x≠ pi/2 + k*pi

 

641)

È la più semplice. 

|f(x)| >= 0 per qualunque x

 

Se vogliamo che la disequazione sia verificata in senso stretto (>) deve risultare il numeratore diverso da zero.

 

Studiamo l'insieme di definizione della frazione. Deve risultare:

sin(x) + cos(x) ≠ 0

 

Ricordando che:

sin(a+b) = sin(a) * cos(b) + sin(b) * cos (a) 

 

possiamo riscrivere il denominatore come:

radice (2)* sin(x+ pi/4)

 

Quindi:

sin(x+pi/4) ≠ 0

x + pi/4 ≠ k*pi

x≠ - pi/4 + k*pi

 

Imponendo la condizione N(x) ≠0 si ricava:

2*sin x ≠ 1/2

 

Quindi:

x≠ pi/6 + 2*kpi

x≠ (5/6)*pi + 2*kpi

653

1 + 2 cos x >= 0

1 - cos x non può essere negativo, la condizione di positività

legata alla convenzione sui radicali é automaticamente verificata

Quindi

2c >= -1 => c >= -1/2

 

1 + 2c > 1 + c^2 - 2c

c^2 - 4c < 0

0 < c < 4

che messa a sistema con

c >= -1/2

-1 <= c <= 1

dà 0 < c <= 1

ricordando che il coseno é l'ascissa

x deve andare da -pi/2 a pi/2 con periodicità di 2 pi

 

con periodicità di 2 pi