disequazioni esponenziali

A capirla!

Riscriviamola nella forma

$ \frac{5^x-5^3}{(2^0-2^x)(3^x-3^1)} $

Così scritta risulta semplice disegnare la griglia dei segni

______0_____1_______3____

----------------------------0++++   5ˣ-5³
++++X----------------------------   2º-2ˣ
-----------------X++++++++++   3ˣ-3¹

++++X--------X+++++0--------    disequazione

La disequazione è verificata in (-∞, 0)  U (1, 3]

La tua formattazione $\LaTeX$ non è andata a buon fine, credo che volessi scrivere:

$\dfrac{5^x-125}{(1-2^x)(3^x-3)} \geq 0$

$f(x)=\dfrac{5^x-125}{(1-2^x)(3^x-3)}$

(devi usare il simbolo del dollaro per aprire e chiudere un periodo in $\LaTeX$).

Iniziamo con la soluzione partendo dallo studio del numeratore:

$5^x-125 \geq 0$

$5^x \geq 125$

$\log_5 (5^x) \geq \log_5(5^3)$

$x \geq 3$.

Possiamo fare questo passaggio perché $\log_a(b)$ è una funzione crescente monotona (ammesso che $0<a,b \in \mathbb{R}$).

Per studiare il segno del denominatore consideriamo i due fattori singolarmente:

$3^x-3 >0 \implies 3^x > 3 \implies \log_3(3^x) > \log_3(3) \implies x>1$, mentre l'altro fattore $1-2^x>0 \implies 2^x<1 \implies \log_2(2^x) < \log_2(1) \implies x < 0$.

Facciamo un rapido studio dei segni per determinare la positività del denominatore:

Quindi $D>0 \implies 0<x<1$, $N \geq 0 \implies x \geq 3$.

Lo studio del segno finale è questo, quindi $f(x) \geq 0 \implies 1

Puoi visualizzare le soluzioni in questo grafico dove la curva rossa rappresenta $f(x)$: