Allego alla presene file contenente 2 equazioni esponenziali, la n. 256 e 257 per le quali chiedo gentilmente un aiuto da parte vostra per la loro soluzione. Ringrazio anticipatamente tutti coloro che vorranno rispondermi.
La risposta della n. 256 é x maggiore di 2; la risposta della n. 257 é x maggiore o uguale a -9/2.
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Livello 1
la soluzione della prima mi risulta essere x > 1
Sì hai ragione , scusa ho copiato male il risultato. Grazie per avermi avvisato. Ora pubblico questa variazione anche per gli altri eventuali responsori.
Volevo avvisare tutti gli eventuali responsori che la risposta alla prima disequazione é x maggiore di 1 e non di 2 come erroneamente trascritto. Chiedo scusa per l'involontaria trascrizione del risultato dell'esercizio n. 256.
Ciao Beppe,
Es 256)
Se osservi attentamente l'argomento del modulo, capisci che è una quantità sempre positiva. Il numeratore perché somma di addendi positivi, il denominatore perché è il quadrato di [5^(x) - 1]. Infatti:
[5^(x) - 1]² = 5^(2x) - 2*5^(x) + 1
Essendo f(x) >0 ==> |f(x)|=f(x)
Posta la condizione: 5^(x) - 1 ≠ 0 ==> x≠0
5^(x)=t, t>0
Si ottiene:
(15*t + 5)/(t² - 2t + 1)<5
Sviluppando i conti:
(t² - 5t)/(t² - 2t + 1)>0
Disequazione che risulta verificata nell'intervallo esterno alle radici 0, 5. Quindi t<0 v t>5
Poiché abbiamo imposto la condizione t>0, risulta valida solo la condizione t>5 ==> 5^x > 5 ==> x>1
Es 257)
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Genius II
Grazie sempre presente per aiutarmi e chiaro; questa l'ho capita subito; il mio tallone d'Achille sono i valori assoluti, che a dire il vero, abbiamo trattato molto superficialmente e velocemente, anche perché in matematica finanziaria, attuariale e econometria non servono a nulla. Comunque, poiché sono qui per imparare, tutto mi interessa e mi incuriosisce e quindi anche questa parte della matematica fa parte del bagaglio culturale di una persona. Grazie ancora per tutto e buona notte a te e famiglia. Maintenant ici il fait frais et on voit briller les étoiles et le silence près et autour des maisons abandonnées; tout cela vous fait vous sentir à mille lieues du monde bruyant et trépidant; je suis en parfaite harmonie avec la nature qui m'entoure. C'est magique et vraiment merveilleux.
Ciao di nuovo
ABS((3·5^(x + 1) + 5)/(5^(2·x) - 2·5^x + 1)) < 5
equivale:
ABS(5·(3·5^x + 1)/(5^x - 1)^2) < 5
Quindi devi risolvere il sistema:
{5·(3·t + 1)/(t - 1)^2 < 5
{5·(3·t + 1)/(t - 1)^2 > -5
avendo posto: 5^x = t
{5·(3·t + 1)/(t - 1)^2 - 5 < 0
{5·(3·t + 1)/(t - 1)^2 + 5 > 0
----------------------------------
{5·t·(5 - t)/(t - 1)^2 < 0
{5·(t^2 + t + 2)/(t - 1)^2 > 0
----------------------------------
{t < 0 ∨ t > 5
{sempre vera con t ≠ 1
-------------------------------
Soluzione sistema t > 5------->5^x>2^1-----> x >1
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EX 257 (anche se dovresti leggere per bene il regolamento!)
Equivale:
5^(4/3·x + 3)/7^(x + 2) ≤ 7·5^(2·x/3)/7^(x/3)
separiamo le potenze aventi stessa base
5^(4/3·x + 3)/5^(2·x/3) ≤ 7·7^(x + 2)/7^(x/3)
applichiamo le proprietà potenze
5^((2·x + 9)/3) ≤ 7^((2·x + 9)/3)
dividiamo per il 2° membro (>0)
(5/7)^((2·x + 9)/3) ≤ 1
equivale a:
(5/7)^((2·x + 9)/3) ≤ (5/7)^0
si cambia segno per gli esponenti in quanto base 5/7<1
(2·x + 9)/3 ≥ 0-------> x ≥ - 9/2
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Genius II
Grazie per la risposta ; mi potresti per favore spiegare il secondo passaggio : ABS (5*(3*5^x +1)/(5^x -1)^2) minore di 5? E' il quadrato di un binomio? dove 5^(2x) è il quadrato del primo termine, 1 il quadrato del secondo e - 2*5^2 il doppio prodotto? Ancora vivi ringraziamenti per la tua risposta.
al numeratore ho raccolto 5 al denominatore quadrato di un binomio come hai detto.
256
* |(3*5^(x + 1) + 5)/(5^(2*x) - 2*5^x + 1)| < 5 ≡
≡ |(3*5*5^x + 5)/(5^(2*x) - 2*5^x + 1)| < 5 ≡
≡ |5*(3*5^x + 1)/(5^x - 1)^2| < 5 ≡
≡ |(3*5^x + 1)/(5^x - 1)^2| < 1 ≡
NB: |positivo| < 1 → positivo < 1
≡ (3*5^x + 1)/(5^x - 1)^2 < 1 ≡
≡ (3*5^x + 1 < (5^x - 1)^2) & (5^x != 1) ≡
≡ ((5^x - 1)^2 - (3*5^x + 1) > 0) & (x != 0) ≡
≡ ((5^x - 5)*5^x > 0) & (x != 0) ≡
≡ (5^x > 5^1) & (x != 0) ≡
≡ (x > 1) & (x != 0) ≡
≡ x > 1
------------------------------
257
* 5^(4*x/3 + 3)/√(49^(x + 2)) <= 7*(25^x)^(1/3)/(7^x)^(1/3) ≡
≡ (5^3)*5^(4*x/3)/√((7^2)^(x + 2)) <= 7*(5^(2*x))^(1/3)/(7^x)^(1/3) ≡
≡ (5^3)*(5^x)^(4/3)/7^(x + 2) <= 7*(5^(2*x))^(1/3)/(7^x)^(1/3) ≡
≡ (5^3)*(5^x)^(4/3)/(5^(2*x))^(1/3) <= 7*7^(x + 2)/(7^x)^(1/3) ≡
≡ 5^((2*x)/3 + 3) <= 7^((2*x)/3 + 3) ≡
≡ (5/7)^((2*x)/3 + 3) <= 1 = (5/7)^0 ≡
NB: 5/7 < 1 → invertire la diseguaglianza
≡ (2*x)/3 + 3 >= 0 ≡
≡ x >= - 9/2
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Genius I
