Disequazioni esponenziali

EX.249

ABS(2·9^x - 1) > 5

equivale a risolvere due disequazioni e poi considerare l'unione delle due soluzioni eventuali.

2·9^x - 1 > 5   v  2·9^x - 1 < -5

Siccome la seconda è impossibile:

2·9^x < -4

in quanto una funzione esponenziale come questa non può essere negativa, le soluzioni della disequazione proposta sono solo quelle della prima.

2·9^x > 6----> 9^x > 3-----> 3^(2·x) > 3^1----> x > 1/2

L'esponente segue il senso della disequazione perché la base è maggiore di 1.

 

@Beppe

251)

La disequazione ha senso in R se l'argomento della radice è maggiore o uguale a zero. Quindi:

 

9^x >= 9

 

Da cui si ricava:

x>=1 (esistenza radice) 

 

Nel suo insieme di definizione, la radice quadrata è sempre positiva o nulla. A primo membro abbiamo invece una quantità che risulta minore di zero se:

 

3^x < 9

x < 2

 

Quindi per 1 <= x <= 2 la disequazione è verificata (primo termine minore di zero, secondo termine positivo) 

 

Se invece primo e secondo termine sono positivi (x>2) elevando a quadrato e ponendo 3^x = t, t>0 si ottiene:

 

(t - 9)² < t² - 9

18*t > 90

t > 5

 

Quindi:

3^x> 5 SEMPRE VERIFICATA PER x >= 2

 

L'unione delle soluzioni fornisce: S= {x>=1}

@StefanoPescetto e p.c. @Beppe
Qualcosa mi punge, e non è il solito insetto!
Pur essendo in estate con temperature che favoriscono l'evaporazione non mi sembra che le risposte di ieri siano già svanite.
Leggendo i vostri elenchi "ancora da risolvere sono la n. 249/250/251/252/255" e "250-252-255 sono svolti ... da almeno una persona" mi domando da quale lettura frettolosa siano spuntati fuori (a vostra insaputa, voglio sperare! A meno che Stefano non si riferisse al solo elenco di Beppe e non al "precedente post" come si legge.).
Io riesco ancora a leggere, al link
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/62988/
e ai successivi link nella medesima pagina un bel po' di svolgimenti e commenti che qui mi permetto di epitomare.
248 @LucianoP
250 @StefanoPescetto
252 @StefanoPescetto
253 io
254 io + @StefanoPescetto + daccapo io
255 io + @StefanoPescetto
Pertanto io avrei detto, e smentitemi se sto smarronando a mia insaputa, che
* "ancora prive di risposta ("da risolvere" è imperativo, pare brutto!) sono solo le n° 249 e 251"
* "248-250-252-253-254-255 sono svolti ... da almeno una persona"
Mah! Si sa che noi vecchiacci siamo un po' permalosi e molto capotici.
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@Beppe
Leggere
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/63032/
"A questo punto getto la spugna." è scoraggiante; tu dici "non riesco a comprendere nessuno dei passaggi", ma questo non mi è utile perché dice solo che sei scoraggiato pure tu e non porta alcuna informazione utile a capire i motivi della mancata comprensione.
Senza una richiesta precisa è insensato attendersi ciò che s'era pensato di ottenere.
Passo oltre, e spero stavolta di riuscirti utile almeno un pochino.
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249
* |2*9^x - 1| > 5
il due è sicuramente positivo
* |2*9^x - 1| > 5 ≡ |3^(2*x) - 1/2| > 5/2
Qui si applica il caso A3 stretto del "RIPASSO SUL VALORE ASSOLUTO" che t'ho inviato domenica mattina
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/62691/
* |3^(2*x) - 1/2| > 5/2 ≡ (3^(2*x) - 1/2 < - 5/2) || (5/2 < 3^(2*x) - 1/2) ≡
≡ (3^(2*x) < - 5/2 + 1/2) || (5/2 + 1/2 < 3^(2*x)) ≡
≡ (3^(2*x) < - 2) || (3 < 3^(2*x)) ≡
≡ (positivo < - 2) || (3^1 < 3^(2*x)) ≡
≡ (insieme vuoto) || (1 < 2*x) ≡
≡ x > 1/2
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251
Nella disequazione
* 3^x - 9 < √(9^x - 9)
la diseguaglianza d'ordine impone che il secondo membro sia reale, cioè che il radicando non sia negativo
* 9^x >= 9 ≡ x >= 1
e questa è la soluzione perché
A) entrambi i membri sono crescenti nel loro insieme di definizione reale;
B) se il quadrato a secondo membro è almeno nove
* 9^x = (3^x)^2 >= 9
la sua radice quadrata a primo membro raggiunge il nove (e fa zero)
* 3^x >= 9 ≡ x >= 2
là dove il secondo membro vale almeno √72 ~= 17/2.
La monotonicità citata sub A garentisce l'asserto.
QED

 

Ma perché tanti esercizi tutti insieme? Togliete i punti a che fa le domande e a chi risponde...