|8^(x) - 2| = sqrt 2^(3x) Risposta : x = 2/3 oppure x = 0
La prima soluzione mi risulta, la seconda no. Grazie a tutti coloro che vorranno aiutarmi a risolvere anche solo il secondo passaggio. Buona serata.
|8^(x) - 2| = sqrt 2^(3x) Risposta : x = 2/3 oppure x = 0
La prima soluzione mi risulta, la seconda no. Grazie a tutti coloro che vorranno aiutarmi a risolvere anche solo il secondo passaggio. Buona serata.
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Livello 1
Qui per la convenzione sui radicali basta quadrare
|2^(3x) - 2|^2 = 2^(3x)
e ponendo 2^(3x) = u, con u > 0
(u - 2)^2 = u
u^2 - 4u + 4 - u = 0
u^2 - 5u + 4 = 0
(u - 1) (u - 4) = 0
u = 1 e u = 4 sono entrambe accettabili
a) 2^(3x) = 1 = 2^0
3x = 0 => x = 0
b) 2^(3x) = 4 = 2^2
3x = 2
x = 2/3
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Livello 6
Ciao ho ricevuto la tua risposta per la quale ti ringrazio; però nel secondo membro c'è sqrt 2^(3x) : non dovrebbe essere 2^(3/2x) invece di 2^(3x)? Scusa per il disturbo ma questo passaggio non mi è chiaro; qual è la convenzione sui radicali che hai citato? Se ti è possibile, rispondimi, così riuscirò a comprendere meglio. Ancora buona serata
Ho fatto il quadrato a sinistra - e pure a destra farò il quadrato che manderà via la radice.
La convenzione sui radicali vuole che se ci troviamo rad(A(x) ) il segno sia per default considerato + per garantire che la radice sia una funzione. Ora, se due quantità sono non negative, allora A = B é del tutto equivalente a A^2 = B^2 e si può quindi passare ai quadrati. se invece A o B possono essere negativi non vale la completa equivalenza perché A^2 = B^2 può significare A = B ma anche A = -B.
Grazie molte per la spiegazione molto chiara ed esaustiva. Ancora buona serata
Ciao @beppe
ABS(8^x - 2) = √2^(3·x)
equivale a risolvere 2 sistemi:
{8^x - 2 = 2^(3·x/2)
{8^x - 2 ≥ 0
OPPURE
{2 - 8^x = 2^(3·x/2)
{8^x - 2 < 0
Quindi si risolvono e si uniscono le loro soluzioni.
1° sistema
1^ equazione:
2^(3·x) - 2 = 2^(3·x/2)
poniamo: 2^(3·x/2) = t
quindi:
t^2 - t - 2 = 0------> (t + 1)·(t - 2) = 0-----> t = 2 ∨ t = -1
(si esclude la seconda!)
2^(3·x/2) = 2------> 3/2·x = 1------> x = 2/3
accettabile in quanto: 8^x - 2 ≥ 0------> x ≥ 1/3
2° sistema
1^ equazione:
2 - 2^(3·x) = 2^(3·x/2)------> solita posizione: 2^(3·x/2) = t
2 - t^2 = t-----> t^2 + t - 2 = 0------> (t - 1)·(t + 2) = 0
t = -2 ∨ t = 1
(si scarta la prima!)
2^(3·x/2) = 1----> 2^(3·x/2) = 2^0-----> x = 0
accettabile in quanto: 8^x - 2< 0------> x < 1/3
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Genius II
RIPASSO SUL VALORE ASSOLUTO
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I diversi casi nelle dis/equazioni con i moduli abs(f(x)) o |f(x)| sono essenzialmente tre.
Il trattamento vale in generale per ogni forma di funzione f(x).
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A) Si deve avere presente che eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
A1) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [intersezione]
A2) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) || (a = + b) [unione]
A3) |a| >= b ≡ (a <= - b) || (b <= a) [unione]
e analoghe per le diseguaglianze strette.
---------------
B) Le dis/equazioni con più valori assoluti si trattano ripetendo il trattamento di un valore assoluto per volta con la sequenza {isolare, sdoppiare}. Occorre riscrivere tutte le espressioni prima isolando un |modulo| in ciascuna, poi eliminandolo, e infine, prima di riciclare, cercando di sostituire tutte quelle ormai prive di |moduli| con la loro implicazione più stretta.
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NEL CASO IN ESAME
L'equazione
* |8^x - 2| = √(2^(3*x)) ≡
≡ |8^x - 2| = √(8^x)
cade ovviamente nel tipo A2
* |8^x - 2| = √(8^x) ≡ (8^x - 2 = - √(8^x)) oppure (8^x - 2 = + √(8^x)) ≡
≡ (8^x + √(8^x) - 2 = 0) oppure (8^x - √(8^x) - 2 = 0) ≡
≡ (u^2 + u - 2 = 0) oppure (u^2 - u - 2 = 0) ≡
≡ (u = - 2) oppure (u = 1) oppure (u = - 1) oppure (u = 2) ≡
≡ (√(8^x) = - 2) oppure (√(8^x) = - 1) oppure (√(8^x) = 1) oppure (√(8^x) = 2) ≡
NB: le quadrature possono introdurre spurie, serve la verifica finale.
≡ (8^x = 4) oppure (8^x = 1) oppure (8^x = 1) oppure (8^x = 4) ≡
≡ (2^(3*x) = 2^0) oppure (2^(3*x) = 2^2) ≡
≡ (3*x = 0) oppure (3*x = 2) ≡
≡ (x = 0) oppure (x = 2/3)
Verifica finale
* |8^0 - 2| = √(2^(3*0)) ≡ |1 - 2| = √1 ≡ 1 = 1 ≡ Vero
* |8^(2/3) - 2| = √(2^(3*2/3)) ≡ |4 - 2| = √4 ≡ 2 = 2 ≡ Vero
non si sono introdotte radici spurie.
NOTA PERSONALE
Ricevo il tuo "Buona serata" alle undici del mattino successivo; come ricambio?
Spero vada bene un generico "Saluti!".
Ciao.
Ah, no! In base al tuo vero nome completo cominicatomi nel tuo più recente commento e ai consolidati modi di dire italiani ti consiglio di mutare il tuo pseudonimo da "Beppe" a "BeppeCecco" TuttAttaccato in CamelCase (senza l'inestetismo dello spazio sottolineato come in @Remanzini_Rinaldo).
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Genius I
