Disequazioni di II grado

Se la disequazione fratta è alla forma normale, conviene procedere nel seguente modo:

1) si studia il segno del N(x)

2) si studia il segno del D(x)

3) si applica la regola dei segni con riferimento al rapporto e quindi si studia il segno del rapporto

4) si individuano gli intervalli della x in cui risulta soddisfatto il segno della disequazione.

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Disequazione fratta alla forma normale del tipo N(x)/D(x) ≤ 0 quindi in forma debole

1) N(x)

x^4 - 1 ≥ 0--------> (x + 1)·(x - 1)·(x^2 + 1) ≥ 0 il 3° fattore sempre strettamente positivo!

quindi la soluzione è:  x ≤ -1 ∨ x ≥ 1 (disequazione di 2° grado: valori esterni all'associata)

Segno:

+++++++[-1]----------------[1]+++++++++>x

2) D(x)

x^3 - 4·x^2 > 0--------> x^2·(x - 4) > 0------> x > 4

Segno:

------------------------(0)--------------(4)++++++> x

Segno rapporto:

------------[-1]++++(0)+++[1]-----(4)++++++++>x

Quindi coerentemente con quanto detto sopra si indica la soluzione:

1 ≤ x < 4 ∨ x ≤ -1

 

Per ogni funzione fratta: f(x) = N(x)/D(x), definita per D(x) != 0, si ha
a) f(x) < 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) > 0)) || ((D(x) > 0) & (N(x) < 0))
b) f(x) = 0 ≡ (D(x) != 0) & (N(x) = 0)
c) f(x) > 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) < 0)) || ((D(x) > 0) & (N(x) > 0))
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Per ogni funzione P = f(x) definita ovunque come prodotto di più fattori non ovunque positivi, si ha (sse ≡ se e solo se)
a) P < 0 sse è < 0 un NUMERO DISPARI di fattori e nessuno è zero;
b) P = 0 sse è = 0 ALMENO un fattore;
c) P > 0 sse è < 0 un NUMERO PARI (anche zero) di fattori e nessuno è zero.
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Nel caso di
265) f(x) = N(x)/D(x) = (x^4 - 1)/(x^3 - 4*x^2) <= 0
definita per
* D(x) = x^3 - 4*x^2 = (x - 4)*x^2 != 0 ≡
≡ x non in {0, 4}
si ha
* f(x) = (x^2 + 1)*(x + 1)*(x - 1)/((x - 4)*x^2) <= 0 ≡
≡ ((x + 1)*(x - 1)*(x - 4) <= 0) & (x non in {0, 4}) ≡
≡ x in {- 1, 1} oppure
(x < - 1) & (x < 1) & (x < 4) oppure
(x < - 1) & (x > 1) & (x > 4) oppure
(x > - 1) & (x < 1) & (x > 4) oppure
(x > - 1) & (x > 1) & (x < 4) ≡
≡ x in {- 1, 1} oppure (x < - 1) oppure (insieme vuoto) oppure(insieme vuoto) oppure (1 < x < 4) ≡
≡ (x <= - 1) oppure (1 <= x < 4)