[Risolto] disequazioni

Vanno risolte singolarmente e poi vanno messe a sistema le soluzioni.

Per la prima si svolge il quadrato e poi si moltiplica per 2:

1. x²>2x²+4x+2

x²+4x+2<0

Ora si risolve l'equazione associata e si prende l'intervallo compreso tra le due soluzioni.

x= (-4±√8)/2 ---> x=-2-√2  ;  x=-2+√2

Quindi la prima disequazione ha soluzione:

-2-√2 < x < -2 +√2 

Per la seconda disequazione portiamo tutto dalla stessa parte:

x- 1/x ≥ 0

Denominatore comune.

(x²-1)/x ≥0

Ora si studiano separatamente numeratore e denominatore:

NUMERATORE

x²-1≥0  --->  x≤-1  v   x≥1

DENOMINATORE

x≥0

Messi insieme nella tabella dei segni vediamo che le soluzioni positive sono:

-1≤x<0   v   x≥1

Ora bisogna trovare l'intervallo che è comune ad entrambe le soluzioni in rosso.

Le soluzioni messe in ordine di grandezza sono così ordinate:

-2-√2  ;  -1  ; -2+√2  ; 0 ; 1

Quindi l'unico intervallo che rispetta tutto quello che è scritto in rosso è 

-1≤x< -2+√2

 

CONGRATULAZIONI PER AVER COMPRESO I SUGGERIMENTI.
Il sistema di disequazioni
* (x^2 > 2*(x + 1)^2) & (x >= 1/x)
è definito per x != 0; escluso tale valore si risolve come segue.
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A) Sottrarre membro a membro il secondo membro.
* (x^2 > 2*(x + 1)^2) & (x >= 1/x) ≡
≡ (x^2 - 2*(x + 1)^2 > 0) & (x - 1/x >= 0) ≡
------------------------------
B) Fattorizzare.
* (x^2 - 2*(x + 1)^2 > 0) & (x - 1/x >= 0) ≡
≡ (- (x - 2*(- 1 - 1/√2))*(x - 2*(- 1 + 1/√2)) > 0) & ((x - 1)*(x + 1)/x >= 0) ≡
≡ ((x - 2*(- 1 - 1/√2))*(x - 2*(- 1 + 1/√2)) < 0) & ((x - 1)*(x + 1)*(1/x) >= 0)
------------------------------
C) Applicare la regola che per risolvere le dis/equazioni di forma
* "prodotto relazione zero" ≡ "P OP 0"
basta considerare ("sse" = "se e solo se") che
C1) P < 0 sse è < 0 un NUMERO DISPARI di fattori e nessuno è zero;
C2) P = 0 sse è = 0 ALMENO un fattore;
C3) P > 0 sse è < 0 un NUMERO PARI (anche zero) di fattori e nessuno è zero.
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* (x - 2*(- 1 - 1/√2))*(x - 2*(- 1 + 1/√2)) < 0 ≡
≡ (x - 2*(- 1 - 1/√2) < 0) & (x - 2*(- 1 + 1/√2) > 0)
oppure
≡ (x - 2*(- 1 - 1/√2) > 0) & (x - 2*(- 1 + 1/√2) < 0) ≡
≡ (x < 2*(- 1 - 1/√2)) & (x > 2*(- 1 + 1/√2))
oppure
≡ (x > 2*(- 1 - 1/√2)) & (x < 2*(- 1 + 1/√2)) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (2*(- 1 - 1/√2) < x < 2*(- 1 + 1/√2)) ≡
≡ 2*(- 1 - 1/√2) < x < 2*(- 1 + 1/√2)
---------------
* (x - 1)*(x + 1)*(1/x) = 0 ≡
≡ (x = 1) oppure (x = - 1)
---------------
* (x - 1)*(x + 1)*(1/x) > 0 ≡
≡ (x < 1) & (x < - 1) & (1/x > 0) oppure (x < 1) & (x > - 1) & (1/x < 0) oppure (x > 1) & (x < - 1) & (1/x < 0) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (- 1 < x < 0) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ (- 1 < x < 0)
---------------
* (x - 1)*(x + 1)*(1/x) >= 0 ≡
≡ (- 1 < x < 0) oppure (x = 1) oppure (x = - 1) ≡
≡ (- 1 <= x < 0) oppure (x = 1)