Risolvere, al variare del parametro reale $a$, la seguente disequazione:
$$
\left|x^{a-1}-a x^{1-a}\right|<(1-a) \cdot x^{1-a}
$$
Dopo aver messo a sistema i due casi per il valore assoluto studio il primo caso tuttavia non riesco a continuare dopo essere giunto a x^(a-1)<x^(1-a). Mi basterebbe anche solo la risoluzione per x>=0 per capire come procedere
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Livello 0
Nella disequazione
* |x^(a - 1) - a*x^(1 - a)| < (1 - a)*x^(1 - a) ≡
≡ |x^a/x - a*x/x^a| < x/x^a - a*x/x^a
la diseguaglianza stretta impone, oltre che siano definiti (x != 0), che siano anche reali (x > 0) entrambi i membri e, essendo x^a > 0, audemus dicere (© Missale Romanum auctoritate S. Pii Pp. V promulgatum + @Remanzini_Rinaldo)
* |x^(a - 1) - a*x^(1 - a)| < (1 - a)*x^(1 - a) ≡
≡ |x^a/x - a*x/x^a| < x/x^a - a*x/x^a ≡
≡ (|x^(2*a - 1) - a*x| < (1 - a)*x) & (x > 0) ≡
≡ (|x^(2*a - 1) - a*x| < (1 - a)*x) & (x > 0) & (a < 1)
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Nel caso in esame la regola da applicare è
a) |a| < b ≡ (a > - b) & (a < b)
cioè, sotto la condizione restrittiva (x > 0) & (a < 1) ≡ (x > 0) & (2*a - 1 < 1),
* |x^(2*a - 1) - a*x| < (1 - a)*x ≡
≡ (x^(2*a - 1) - a*x > - (1 - a)*x) & (x^(2*a - 1) - a*x < (1 - a)*x) ≡
≡ (x^(2*a - 1) > (2*a - 1)*x) & (x^(2*a - 1) < x) ≡
≡ (x^(2*a - 1) > (2*a - 1)*x) & ((0 < x < 1) & (a > 1) oppure (x > 1) & (a < 1)) ≡
≡ (x^(2*a - 1) > (2*a - 1)*x) & (x > 1)
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Con
* 2*a - 1 = k < 1
* x > 1
per risolvere la disequazione
* x^k > k*x
si studia la reciproca posizione, nel semipiano x > 1, di
* y = x^k
* y = k*x
al variare di k sulla semiretta k < 1.
* per k < 0: 1/x^|k| > 0 > k*x < 0
* per k = 0: 1 > 0
* per 0 < k < 1: x^k > k*x ≡ 0 < x < 1/k^(1/(1 - k))
cioè
* per a < 1/2: 1/x^|2*a - 1| > 0 > (2*a - 1)*x < 0
* per a = 1/2: 1 > 0
* per 1/2 < a < 1: x^(2*a - 1) > (2*a - 1)*x ≡ 0 < x < (2*a - 1)^(1/(2*(a - 1)))
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Genius I
x > 0 per l'esistenza della potenza ad esponente reale
ho escluso x = 0 perché l'uguaglianza non é prevista
x^(a-1) = t con t > 0
|t - a/t| < (1-a)/t
Da qui comprendi che deve essere 1-a > 0 per la positività del secondo membro
|t^2 - a|/t < (1 - a)/t perché é t > 0
|t^2 - a| < 1 - a
a - 1 < t^2 - a < 1 - a
2a - 1 < t^2 < 1 con a < 1
Ora devi separare due casi
Se 2a - 1 < 0 ovvero a < 1/2
basta t^2 < 1
- 1 < t < 1
ovvero 0 < x^(1-a) < 1
0 < x < 1
Se invece 2a - 1 >= 0
2a - 1 < t^2 < 1
sqrt (2a -1) < |t| < 1
e da qui spero che tu sappia proseguire
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Livello 7
