Buona sera a tutti; invio la disequazione logaritmica n. 689 che ho provato a risolvere senza riuscire a giungere alla conclusione. Ho eseguito il cambio base da 4 a 2 nel secondo membro e dopo ho cercato di applicare i teoremi dei logaritmi, ma non ho ottenuto il risultato atteso. La risposta è x maggiore di 0. Ringrazio anticipatamente chi vorrà fornirmi il suo aiuto.
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Livello 1
L'identità da rammentare mi sembra una sola
* log(b^n, u) = log(b, u)/n
da applicare alla
689) log(2, x + 1)/4 > log(4, x*√x + 1)/3
insieme alla restrizione
* (x + 1 > 0) & (x*√x + 1 > 0) ≡ (x >= 0)
quindi
* (log(2, x + 1)/4 > log(4, x*√x + 1)/3) & (x >= 0) ≡
≡ (log(2, x + 1)/4 > log(2, x*√x + 1)/6) & (x >= 0) ≡
≡ (3*log(2, x + 1) > 2*log(2, x*√x + 1)) & (x >= 0) ≡
≡ (log(2, (x + 1)^3) > log(2, (x*√x + 1))^2) & (x >= 0) ≡
≡ (log(2, (x + 1)^3) - log(2, (x*√x + 1)^2) > 0) & (x >= 0) ≡
≡ (log(2, (x + 1)^3/(x*√x + 1)^2) > 0) & (x >= 0) ≡
≡ (2^log(2, (x + 1)^3/(x*√x + 1)^2) > 2^0) & (x >= 0) ≡
≡ ((x + 1)^3/(x*√x + 1)^2 > 1) & (x >= 0) ≡
≡ ((x + 1)^3/(x*√x + 1)^2 - 1 > 0) & (x >= 0) ≡
≡ ((3*x - 2*√x + 3)*x/(x*√x + 1)^2 > 0) & (x >= 0) ≡
≡ ((3*x - 2*√x + 3 < 0) & (x < 0) oppure (3*x - 2*√x + 3 > 0) & (x > 0)) & (x >= 0) ≡
≡ ((insieme vuoto) & (x < 0) oppure (vero per ogni x) & (x > 0)) & (x >= 0) ≡
≡ (x > 0) & (x >= 0) ≡
≡ x > 0
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