[Risolto] disequazione logaritmica

Nelle condizioni di esistenza devi porre:

$x+1 > 0$ -> $x > -1$

La seconda è un pelo più complessa:

$ x\sqrt{x}+1 > 0$

$ x \sqrt{x} > -1$

La disequazione è soddisfatta per $x\geq0$. Infatti le condizioni di esistenza della radice ci richiedono $x\geq0$ e per tali valori il membro di sinistra è sempre positivo e dunque sempre $>-1$.

Dunque mettendo a sistema le due condizioni, otteniamo come CE:

$ x \geq 0$

Per risolvere la disequazione, passiamo i logaritmi in base 2:

$\frac{log_2(x+1)}{4} > \frac{1}{3} log_4(x\sqrt{x}+1)$

$\frac{log_2(x+1)}{4} > \frac{1}{3} \frac{log_2(x\sqrt{x}+1)}{log_2 4}$

e tenendo presente che $log_2 (4) = 2$

$\frac{log_2(x+1)}{4} > \frac{1}{6} log_2(x\sqrt{x}+1)$

dunque facendo il mcm:

$3 log_2(x+1) > 2 log_2(x\sqrt{x}+1)$

Portiamo dentro i coefficienti

$log_2(x+1)^3 > log_2(x\sqrt{x}+1)^2$

e togliamo i logaritmi:

$(x+1)^3 > (x\sqrt{x}+1)^2$

risolvendo

$ x^3 +3x^2 +2x +1 > x^3 + 2x\sqrt{x} +1$

$ 3x^2 +2x -2x\sqrt{x} > 0$

Mettiamo in evidenza

$ x(3x+2-\sqrt{x}) > 0$

Studiamo i segni dei due fattori:

1)

$x > 0$

2) 

$3x+2-\sqrt{x} > 0$

$ \sqrt{x} < 3x+2$

Dobbiamo risolvere la disequazione irrazionale tramite il sistema:

{ $ x\geq 0 $

{ $3x+2 > 0$

{$ x < 9x^2 +12x +4$

risolvendo:

{ $ x\geq 0 $

{ $x > -2/3$

{$ 9x^2 + 11x +4 > 0$ -> $\forall x \in R$

Otteniamo dunque la soluzione comune

$ x \geq 0$

Facendo quindi lo studio dei segni:

__0__

---+++

---+++

+        +

Otteniamo che la disequazione è soddisfatta $\forall x \in R$, ma tenendo conto delle CE la soluzione è $x\geq 0$

Noemi

Se non dici quali siano i problemi, nessuno può aiutarti a risolverli.
Tutto ciò che ti posso mostrare è come ragiono io per la condizione d'esistenza.
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La disequazione
* log(2, x + 1)/4 > log(4, x*√x + 1)/3
ha una diseguaglianza d'ordine stretto, quindi è definita se e solo se entrambi i membri hanno valore reale, cioè gli argomenti dei logaritmi sono positivi
* (x + 1 > 0) & (x^(3/2) + 1 > 0) ≡
≡ (x > - 1) & (x^(3/2) > - 1) ≡
≡ (x > - 1) & (x >= 0) ≡
≡ x >= 0